programacion lineal

PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha funciónestén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Variables:
Las variables son números reales mayores o iguales a cero
En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera.
Restricciones:
Las restricciones pueden ser de la forma:
Tipo 1:Tipo 2:


Tipo 3:


Donde:
A = valor conocido a ser respetado estrictamente
B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado
C = valor conocido que no debe ser superado;
j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);
a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;
X = Incógnitas, de 1 a N;
i = número de la incógnita, variable de 1 a N.
Engeneral no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.
Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.
Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.

Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema encuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ... ( menores: < o ); como mínimo de ... (mayores: > o ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.
FUNCIÓN OBJETIVO:
La función objetivo puede ser:


o

Donde:
 = coeficientes sonrelativamente iguales a cero.

La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.


SOLUCIÓN GRÁFICA
Para la solución gráfica de programas lineales con dos variables, lo que se tiene que hacer es trazar un eje de coordenadas cartesianas, para graficar las desigualdadesdadas por el problema, después encontrar el Área de Soluciones Factibles y proceder a graficar la función objetivo para conocer el valor óptimo (maximizar o minimizar) que será la solución del problema. 
Ejemplo: Problema de mezcla de productos.
Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con72 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos dos mesas. 
Paso 1: formulación del problema.
Elprimer paso para resolver el problema es expresarlo en términos matemáticos en el formato general de PL. ¿Cuál es el objetivo? Es maximizar la contribución a la ganancia. Cada unidad de mesas o sillas producidas contribuirá con $5 en la ganancia. Así las dos alternativas son la producción de mesas y la producción de sillas. Ahora puede escribirse la función objetivo: 
Maximizar   Z = 5x1 + 5x2  endonde:       
x1 = número de mesas producidas
           x2 = número de sillas producidas 
¿Cuáles son las restricciones o limitaciones del problema? Existen tres restricciones. Primero, el material está limitado a 96 unidades. Cada mesa se lleva 12 unidades de material y cada silla usa 8 unidades. La primera restricción es, entonces: 
12x1 + 8x2  96 
La segunda restricción es el total...