PROGRAMACION LINEAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE CONJUNTOS CONVEXOS
a.
Solución
Representemos gráficamente el conjunto. Para ello dibujamos el límite (Ecuación de una recata de pendiente - ).
Definimos laexpresión como el límite del conjunto . Para su gráfica es calculemos los valores para y cuando x = 0 y x =2 como aparece a continuación:
Si x = 0, entonces , de donde .
Para cuando x =2, entonces .Luego , de donde . Por lo que . Así, tenemos los puntos de la recta y .
La gráfica correspondiente es:
Para saber cuál es exactamente el recito de esta tómese un punto que no pertenezca a la recta,esto es, ( 3, -5). Remplazando los valores de x e y en la ecuación de la recta en estudio: x + 2y =3 + 2(-5)= 3 -10 = -7 cumple con la condición del conjunto dado. Por lo tanto el conjunto se sitúaen la parte del plano donde esta el punto escogido, como se muestra en la gráfica siguiente:
Tomemos dos puntos de este conjunto S3, (-7, 1) y (2, -3) y tracemos el segmento correspondientea estos puntos, se observa que queda totalmente contenido en el conjunto. Lo cual demuestra que es un conjunto convexo. Ver gráfica correspondiente.







Grafica del conjunto S representadopor la zona de color verde, por lo qu el conjunto es convexo.





b.
Solución
Sean y para cualquiera , veamos si .
En efecto: como y y son elemento de R, (por que el producto denúmeros reales es otro número real). Además, y son también números reales.
Luego y , entonces
, la suma es cerrada en
Pero y por propiedad de los vectores.
Así
, lo que prueba que .
Asíes un conjunto convexo.


c.
Solución
Representemos gráficamente el conjunto, para ello dibujamos el límite y y (Ecuaciones de una recta vertical o recta horizontal respectivamente).
Tomemosun punto que no este en la recta, por ejemplo: (-1, 2). En este caso x=-1, entonces el conjunto esta ubicado del lado izquierdo del eje Y, identificado con el color azul.
Ahora tomemos...