PROGRAMACION LINEAL
Páginas: 21 (5078 palabras)
Publicado: 2 de junio de 2015
PROGRAMACION LINEAL
Introducci´on La programaci´on lineal es una t´ecnica matem´atica relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de m´etodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimizaci´on en el ´ambito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programaci´on lineal, los que tienen s´olamente 2variables, problemas bidimensionales. Para sistemas de m´as variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado m´etodo Simplex (ideado por G.B.Danzig, matem´atico estadounidense en 1951). Recientemente (1984) el matem´atico indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es m´as r´apido que el m´etodosimplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran n´umero de variables, se implementan en ordenadores.
MÉTODO GRÁFICO
El método gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis desensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima).
EL PROBLEMA
La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos decalidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.
El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metrosde T y T’ se deben fabricar?
LA MODELIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL
VARIABLES
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar
RESTRICCIONES
0,12XT + 0,2XT’ <= 500 Hilo “a”
0,15XT + 0,1XT’ <= 300 Hilo “b”
0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c”
Las restricciones de no negatividad noson necesarias en este ejemplo dado que se trata de un ejercicio de maximización, cuando el ejercicio sea de minimización lo más recomendado es incluirlas.
FUNCIÓN OBJETIVO
ZMAX = 4000XT + 5000XT’
LA SOLUCIÓN MEDIANTE MÉTODO GRÁFICO
PASO 1: GRAFICAR LAS RESTRICCIONES
Para iniciar con el trazado de las restricciones es indispensable igualar las restricciones a 0, de esta manera podemosmediante despeje de ecuaciones iniciar con la tabulación que nos otorgará las coordenadas para esbozar cada una de las gráficas. Además dado que se trabajará en el plano cartesiano sería prudente renombrar las variables
XT = x
XT' = y
Igualamos las restricciones,
0,12X + 0,2y = 500
0,15X + 0,1y = 300
0,072X + 0,027y = 108
Acto seguido iniciamos con la primera restricción,hallamos las primeras dos coordenadas. Para hallar las coordenadas regularmente llevamos una de las variables a cero, para de esta manera despejar más fácilmente la segunda.
Por ejemplo, para un x = 0
0,12(0) + 0,2y = 500
0,2y = 500
500/0,2 = y
2500 = y
y para un y = 0
0,12x + 0,2(0) = 500
0,12x = 500
x = 500/0,12
x = 4167
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Seguimos con la segundarestricción,
0,15X + 0,1y = 300
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Tercera restricción,
0,072X + 0,027y = 108
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En el siguiente gráfico se muestra el polígono solución de color gris, en este conjunto es donde cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales se caracterizan por ser restricciones de menor o igual y esta característica se representa...
Introducci´on La programaci´on lineal es una t´ecnica matem´atica relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de m´etodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimizaci´on en el ´ambito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programaci´on lineal, los que tienen s´olamente 2variables, problemas bidimensionales. Para sistemas de m´as variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado m´etodo Simplex (ideado por G.B.Danzig, matem´atico estadounidense en 1951). Recientemente (1984) el matem´atico indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es m´as r´apido que el m´etodosimplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran n´umero de variables, se implementan en ordenadores.
MÉTODO GRÁFICO
El método gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis desensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima).
EL PROBLEMA
La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos decalidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.
El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metrosde T y T’ se deben fabricar?
LA MODELIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL
VARIABLES
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar
RESTRICCIONES
0,12XT + 0,2XT’ <= 500 Hilo “a”
0,15XT + 0,1XT’ <= 300 Hilo “b”
0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c”
Las restricciones de no negatividad noson necesarias en este ejemplo dado que se trata de un ejercicio de maximización, cuando el ejercicio sea de minimización lo más recomendado es incluirlas.
FUNCIÓN OBJETIVO
ZMAX = 4000XT + 5000XT’
LA SOLUCIÓN MEDIANTE MÉTODO GRÁFICO
PASO 1: GRAFICAR LAS RESTRICCIONES
Para iniciar con el trazado de las restricciones es indispensable igualar las restricciones a 0, de esta manera podemosmediante despeje de ecuaciones iniciar con la tabulación que nos otorgará las coordenadas para esbozar cada una de las gráficas. Además dado que se trabajará en el plano cartesiano sería prudente renombrar las variables
XT = x
XT' = y
Igualamos las restricciones,
0,12X + 0,2y = 500
0,15X + 0,1y = 300
0,072X + 0,027y = 108
Acto seguido iniciamos con la primera restricción,hallamos las primeras dos coordenadas. Para hallar las coordenadas regularmente llevamos una de las variables a cero, para de esta manera despejar más fácilmente la segunda.
Por ejemplo, para un x = 0
0,12(0) + 0,2y = 500
0,2y = 500
500/0,2 = y
2500 = y
y para un y = 0
0,12x + 0,2(0) = 500
0,12x = 500
x = 500/0,12
x = 4167
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Seguimos con la segundarestricción,
0,15X + 0,1y = 300
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Tercera restricción,
0,072X + 0,027y = 108
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En el siguiente gráfico se muestra el polígono solución de color gris, en este conjunto es donde cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales se caracterizan por ser restricciones de menor o igual y esta característica se representa...
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