Programacion Lineal

Un a c om pañ í a fa b ri c a y v en d en d o s m od el o s d e l ám pa ra L 1 y L 2 .
Pa ra su fa b ri ca ci ón s e n e c e si ta u n t r aba j o man u al d e 20 mi n u to s
pa ra el m od el o L 1 y de 3 0 mi n u to s pa ra el L 2 ; y u n t r abaj o d e
máqu i n a pa ra L 1 y d e 10 mi n u t os p a ra L 2 . S e di sp on e p a ra e l
tra baj o ma n u al d e 1 00 h o r as al m es y p ar a l a máqu i n a 8 0 h o ra s al
me s . Sabi en d o qu e el b en e fi ci o p o r u n i dad es d e 15 y 10 e u r o s
pa ra L 1 y L 2 , r es p ec ti vam en t e , pl an i fi car l a p r odu c ci ón pa ra
obt en e r el m áxi m o ben e fi ci o .
1 El ec ci ón d e l as i n c ógn i ta s.
x = n º d e l ámpa r as L 1
y = n º d e l ámpa r as L 2
2 Fu n ci ón obj e ti vo
f(x , y ) = 15 x + 10 y
3 R est ri c ci on es
Pa sa mo s l o s ti emp o s a h o r as
20 mi n = 1/ 3 h
30 mi n = 1/ 2 h
10 mi n = 1/ 6 h
Pa ra e sc ri bi r l a s r e s tri c ci on e s va m os a ayu d a rn os d e u n a t a bl a:

L1

L2

Ma n u a l

1/ 3

1/ 2

10 0

Má q ui n a

1/ 3

1/ 6

80

1/3x + 1/2 y ≤ 100
1/3x + 1/6 y ≤ 80

Ti em po

Co m o el n ú m e r o d e l ámpa ra s s on n ú m e r o s n atu ral e s , t en d r e mo s
do s r e stri c ci on e s m ás:
x ≥ 0
y ≥ 0
4 H al l ar el co n j u n t o d e s ol u ci on e s f ac t i bl es

T en em o s qu e r e pr e s en t a r g r áfi c am en t e l as r es tri c ci on e s .
Al s e r x ≥ 0 e y ≥ 0 , t r abaj a r em o s en el p ri me r cu ad r an t e .
Re pr e s en t am o s l a s r e cta s , a pa rti r d e s u s pu n t o s d e c o rt e c o n l o s
ej e s.
Re s ol v em o s g rá fi ca ment e l a i n ec u a ci ón : 1/ 3 x + 1/ 2 y ≤ 1 00; pa ra
el l o t om am o s u n pu n to d el pl an o, p o r e j em pl o el ( 0, 0) .
1/3· 0 + 1/2 ·0 ≤ 1 0 0
1/3· 0 + 1/6 ·0 ≤ 8 0
La z on a d e i n te r s e cc i ón d e l as s ol u ci o n e s d e l a s i n e cu aci on e s s e rí a
l a s ol u ci ón al si st em a d e i n e cu a ci on e s , q u e c on sti tu y e el c on j u n to
de l as s ol u ci on esfa cti bl es .

5 Cal cu l a r l a s c o o r den ada s d e l os v é rti c es d el r e ci n to d e l as
s ol u ci on e s fa ct i bl e s.

La s ol u ci ón óp ti ma s i e s ú n i c a s e en c u en tra en u n v é rti c e d e l
r e ci n to . e st o s s on l as s ol u ci on e s a l o s si st em as :
1/3x + 1/2 y = 100 ; x = 0 ( 0, 20 0)
1/3x + 1/6 y = 80; y = 0( 240 , 0)
1/3x + 1/2 y = 100 ; 1/3 x +1/ 6y = 8 0( 210 , 60)

6 Cal cu l a r el val o r de l a fu n ci ón o bj eti v o
En l a fu n ci ón ob j e ti v o su sti tu i mo s ca da u n o d e l o s v é rti c e s .
f(x , y ) = 15 x + 10 y
f(0 , 200 ) = 15 ·0 + 10· 200 = 2 0 00 €
f(24 0, 0 ) = 1 5· 240 + 10 ·0 = 3 6 00 €
f(21 0, 6 0) = 15 ·2 10 + 10 ·6 0 = 3 750 €

M á xi mo

La s ol u ci ón óp ti ma e s fa b ri ca r 2 10 de l mo de l o L 1 y 60 d e l
mo de l o L 1 pa ra obt en e r u n b en efi ci o d e 3 75 0 €

Co n el c omi en z o d el cu r s o s e va a l an z a r u n a s o f e rta s d e m at eri al
e sc ol a r . Un o s al ma c en e s qu i e r en o f r e c e r 600 cu a d er n o s , 50 0
ca rp et a s y 400 b ol í gra f o s p a ra l a o f er ta , emp aqu et án d ol o d e d o s
f or ma s di sti n ta s; en el p ri me r bl oqu e p o n drá 2 cu a d e rn os , 1
ca rp et a y 2 b ol í graf o s; e n el s e gu n d o , pon dr án 3 cu ad e rn o s, 1
ca rp et a y 1 b ol í graf o . L o s p r e ci o s d e c a da paqu et e s e rán 6 . 5 y 7
€, re sp e cti v am en t e . ¿ Cu án t os p aqu et e s l e co n vi en e p on e r d e c ada
ti po p a ra obt en e r el má xi m o b e n efi ci o ?
1 El ec ci ón d e l as i n c ógn i ta s.
x = P1
y = P2
2Fu n ci ón obj e ti vo
f(x , y ) = 6. 5x + 7 y
3 R est ri c ci on e s

P1

P2

Di s po n ib l e s

Cu a d er n os

2

3

60 0

C ar p et a s

1

1

50 0

Bo l í gr a fo s

2

1

40 0

2x + 3 y ≤ 600
x + y ≤ 5 00
2x + y ≤ 400
x ≥ 0
y ≥ 0
4 H al l ar el co n j u n t o d e s ol u ci on e s f ac t i bl es

5 Cal cu l a r l a s c o o r den ada s d e l os v é rti c es d el r e ci n to d e l as
s ol u...