Programacion matematica

1.- Modelización matemática en Economía.
Los problemas económicos plantean situaciones que para resolverlas es necesario la
construcción previa del modelo matemático. Este modelo depende del tipodel problema que
queramos resolver y los iremos viendo a lo largo de las lecciones de la asignatura.
Nuestro objetivo es dar los conceptos necesarios para resolver problemas de Optimización,
esdecir, calcular máximos y mínimos de funciones restringidas a un subconjunto.
Para ello, en esta lección, estudiaremos la convexidad de las funciones que componen el
problema, veremos teoremasimportantes previos para conocer qué tipo de problema vamos a
resolver y empezaremos a estudiarlos de forma gráfica.
2.- Convexidad de conjuntos. Convexidad y concavidad de funciones.
La convexidad de unproblema de optimización (programación matemática) se analiza a
partir de un conjunto de propiedades de las funciones y de los conjuntos que intervienen en la
formulación de dicho problema.2.1.-Definición de conjunto convexo en Ân .
Para poder definir el concepto de conjunto convexo, necesitamos conocer, previamente,
la ecuación matemática del segmento de extremos p1 y p2:
S = {xÎÂn / x = lp1+ (1-l)p2 , 0 £ l £ 1}
Ejemplo.
Veamos que la expresión del segmento se corresponde con la fórmula de la ecuación de la recta que ya
conocemos. Según lo anterior, el segmento que une los vectores(1, 2) y (2, 3) lo obtenemos:
l (1, 2) + (1-l )(2, 3) = (x, y)
Operando, resulta:
y
x
+ - = - =
+ - = - =
l l l
l l l
2 3(1 ) 3
2 2 2
Despejando l obtenemos:
y
x
= -
= -
3
2
l
l
Dedonde 2 – x = 3 – y, por tanto, y = x + 1, que es la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y
(2, 3), con 0 £l £1. □
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Con ello, podemos ya definir que un subconjunto K de Ân es unconjunto convexo si para
cualquier par de puntos de K, el segmento que los une está totalmente contenido en K, matemáticamente:
K es convexo "x1, x2ÎK: lx1 + (1-l)x2 Î K , 0 £ l £ 1
Gráficamente,...