Programacion no lineal

PROGRAMACIÓN NO LINEAL

( ( Bibliografía:
Winston, Wayne L., Investigación de Operaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, S. A. De C. V., México, 1.994, ISBN 970-625-029-8.
Chiang, Alpha C., Métodos Fundamentales de Economía Matemática, McGraw Hill/Interamericana de México, S. A. De C. V., 1.998, ISBN 968-422-193-2.

Conceptos introductorios

DEFINICIÓN

Se puede expresar un problema deprogramación no lineal (PNL)de la siguiente manera:
Encuentre los valores de las variables [pic] que

[pic] máximo (o mínimo)

sujeto a: (1)

[pic]
………………………….
………………………….
[pic]

Como en la programación lineal z es el funcional del problema de programación no linealy

[pic] ;… ;[pic]

son las restricciones del problema de programación no lineal.
Un problema de programación no lineal es un problema de programación no lineal no restringido.
El conjunto de puntos [pic], tal que [pic] es un número real, es [pic]
[pic], entonces, es el conjunto de los números reales.
Los siguientes subconjuntos de [pic] (llamados intervalos) serán de particular interés:[pic]
[pic]
[pic]

Y en forma análoga a las definiciones de la programación lineal.

DEFINICIÓN

La región factible para el problema de programación no lineal es el conjunto de puntos [pic] que satisfacen las m restricciones de (1).

Supóngase que (1) es un problema de maximización.

DEFINICIÓN

Cualquier punto [pic] en la región factible, para el cual se tiene que [pic] paratodos los puntos X de la región factible, es una solución óptima para el problema de programación no lineal.
(Para un problema de minimización, [pic] es la solución óptima si [pic] para toda X factible.

Por supuesto, si [pic] son funciones lineales, entonces (1) será un problema de programación lineal y puede resolverse mediante el algoritmo simplex.

Ejemplos de Programación No LinealEjemplo N° 1

A una compañía le cuesta c UM por unidad fabricar un producto. Si la compañía cobra p UM por unidad de producto, los clientes pedirán [pic] unidades. Para maximizar las ganancias, ¿qué precio tendría que poner la compañía?

Solución

La variable de decisión de la empresa es p
Dado que la ganancia de la empresa es [pic], la empresa querrá resolver el siguiente problema demaximización sin restricción:

[pic]

Ejemplo N° 2

Si se utilizan K unidades de capital y L unidades de trabajo, una compañía puede producir KL unidades de un bien manufacturado. Se puede conseguir el capital a 4 UM/unidad y el trabajo a 1 UM/unidad. Se dispone de un total de 8 UM para contratar capital y trabajo. ¿Cómo puede la compañía maximizar la cantidad de bienes que se pueden fabricar?Solución

Sea

K = unidades de capital contratadas y
L = unidades de trabajo compradas

entonces K y L deben satisfacer [pic]
Por lo tanto, la compañía quiere resolver el siguiente problema de maximización restringido:

[pic]
[pic]

Diferencias entre Programación No Lineal y Programación Lineal

La solución para el problema de programación lineal es un conjunto convexo.
También sabemosque la solución de programación lineal se encuentra en un punto extremo de un conjunto convexo.
Pronto veremos, sin embargo, que aunque la región factible para un problema de programación no lineal sea un conjunto convexo, la solución óptima para un problema de programación no lineal no tiene que ser un punto extremo de la región factible del problema de programación no lineal.
La Figura 1muestra gráficamente la región factible (acotada por el triángulo ABC) para el ejemplo y las curvas de isobeneficio KL = 1; KL = 2 y KL = 4

Figura 1 — UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL CUYA SOLUCIÓN ÓPTIMA NO ES UN PUNTO EXTREMO

Obsérvese que la solución óptima es tangente a la frontera de la región factible
La solución óptima para el ejemplo es z = 4, K = 1 y L = 4 (el punto D).
D no es...