Programacion No Lineal

5.- Problemas de programación no lineal.
1.- Resolver el problema
5 5
9
3 1
2 2
− ≥
+ ≤
− + −
x y
x y
x y
s.a
Min ( ) ( ) 2 2

Solución:
En general en la resolución de un problema de programación no lineal seguiremos
una serie de pasos:
En primer lugar intentaremos representar gráficamente nuestro conjunto de
oportunidades y las curvas de nivel de la función objetivo.El segundo paso consistirá en comprobar la aplicabilidad de los Teoremas de
Weierstrass y Local - Global, de tal forma que podamos tener seguridad de la existencia de
solución global a nuestro problema, y si dichas soluciones que obtengamos con las técnicas
aplicadas son las soluciones globales.
En tercer lugar obtendremos las soluciones a nuestro problema mediante las
condiciones depunto estacionario, aunque en este caso podemos seguir dos vías para la
resolución del sistema que se genera. Una, corresponde a la resolución de dicho sistema
teniendo en cuenta las distintas ramas que se presenten y otra, basada en la determinación,
con la ayuda de la representación gráfica, de las restricciones activas en el óptimo y reducir
de esa manera las distintas posibilidades delcaso anterior.
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
Posteriormente deben analizarse las condiciones de segundo orden tanto necesaria
como suficientes, para poder afirmar si dichos puntos estacionarios son óptimos, y si lo son,
si son locales o globales. Programación Matemática para Economistas


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El conjunto deoportunidades, como podemos observar en la gráfica, es un conjunto
cerrado, acotado, convexo y no vacío, mientras que la función objetivo es continua y
convexa, luego por el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que existe un mínimo
global y por el Teorema Local - Global, todo mínimo local es global.
En consecuencia, nos bastaría con determinar los mínimos locales y directamenteobtendremos los globales pero, como se verifican las condiciones suficientes para que un
punto estacionario sea mínimo global, sólo necesitamos encontrar los puntos estacionarios.
Para ello, podemos hacerlo de dos formas posibles, directamente a través de las
condiciones de punto estacionario, o bien, a través de la gráfica analizando las restricciones
activas en el mínimo. Veamos los dosprocedimientos comenzando por el de punto
estacionario.
Para resolver el problema a través de las condiciones de punto estacionario, para
construir la función de Lagrange deberemos modificar nuestra función objetivo de acuerdo
con la relación:
Min (x – 3)
2
+ (y – 1)
2
= - Max - (x – 3)
2
- (y – 1)
2

Y entonces, la función de Lagrange vendrá dada por
(x, y, , ) (x 3) (y 1) (x y 9)( 5 5x y) L λ1 λ2 = − − − − −λ1 + − −λ2 − + 2 2 2 2
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
Observemos que la segunda restricción ha debido adaptarse a la forma ≤. Programación Matemática para Economistas


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Las condiciones de punto estacionario vienen dadas por:
(8) 0
(7) 0
5 5(6 )
0 (6 ) (6) ( 5 5 ) 0
9 (5 )
0 (5 )(5) ( 9) 0
(4) ( 5 5 ) 0
(3) ( 9) 0
(2) 2( 1) 2 0
(1) 2( 3) 2 5 0
2 2
2 2
2 2
≥
≥



− + = −
= − + = ⇒



+ =
= + − = ⇒
= − − + ≥
= − + − ≥
= − − − − =
= − − − + =
2
1
2
2
1
1
2
1
1 2
1 2
x y b
a
x y
x y b
a
x y
x y
x y
y y
y
x x
x
λ
λ
λ
λ
λ
λ
∂λ
∂
∂λ
∂
λ λ
∂
∂
λ λ
∂
∂
L
L
L
L

Para resolver ese sistema que contieneecuaciones e inecuaciones comenzaremos
resolviendo las ecuaciones y posteriormente, comprobaremos el cumplimiento de las
inecuaciones. Así, determinaremos los puntos que verifican (1), (2), (5) y (6). Para ello,
pueden formarse cuatro sistemas que vienen dados por las ecuaciones (1), (2), (5a) o (5b) y
(6a) o (6b). Posteriormente, comprobaremos si las soluciones verifican las inecuaciones (3),...