programacion no lineal

Programación no lineal
En matemáticas, los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales. En particular, el comportamientode sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición, como lo es un sistema lineal.
La linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemáticas y aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los resultados. Ya que los sistemas no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difíciles (o imposibles) de modelar, y suscomportamientos con respecto a una variable dada (por ejemplo, el tiempo) es extremadamente difícil de predecir.
Algunos sistemas no lineales tienen soluciones exactas o integrables, mientras que otros tienen comportamiento caótico, por lo tanto no se pueden reducir a una forma simple ni se pueden resolver. Un ejemplo de comportamiento caótico son las olas gigantes. Aunque algunos sistemas nolineales y ecuaciones de interés general han sido extensamente estudiados, la vasta mayoría son pobremente comprendidos.
Sistemas no lineales
Las ecuaciones no lineales son de interés en física y matemáticas debido a que la mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su naturaleza. Ejemplos físicos de sistemas lineales son relativamente raros. Las ecuaciones no lineales sondifíciles de resolver y dan origen a interesantes fenómenos como la teoría del caos. Una ecuación lineal puede ser descrita usando un operador lineal, L. Una ecuación lineal en algún valor desconocido de u tiene la forma
Lu = 0
Una ecuación no lineal es una ecuación de la forma:
F(u) = 0
Para algún valor desconocido de u.
Para poder resolver cualquier ecuación se necesita decidir en quéespacio matemático se encuentra la solución u. Podría ser que u es un número real, un vector o, tal vez, una función con algunas propiedades.
Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas como una superposición de otras soluciones de la misma ecuación. Esto hace que las ecuaciones lineales sean fáciles de resolver.
Las ecuaciones no lineales son mucho más complejas, y muchomás difíciles de entender por la falta de soluciones simples superpuestas. Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones. Esto hace el resolver las ecuaciones mucho más difícil que en sistemas lineales.
Se considera como tal al conjunto de métodos utilizados para optimizar unafunción objetivo, sujeta a una serie de restricciones en los que una o más de las variables incluidas es no lineal.
Como ejemplo considere el siguiente problema de programación no lineal
Minimizar f(x)
Sujeto a g1(x) < 0 i - 1, 2… m
h1( x ) - 0 j- 1,2…,1
Donde f. g1. g2…, gm. h1, h2,...., h, son funciones definidas en L1, el espacio euclidiano de n dimensiones. X es un subconjunto de E1.y x es un vector de componentes x1, x2,..., xn.
El problema anterior puede ser resuelto para los valores de las variables x1, x2,..., xn que satisfacen las restricciones y que minimicen la función f.
La función f es llamada usualmente la función objetivo o la función criterio. Cada una de las restricciones g¡(x) para i 1, 2…, m es llamada restricción de desigualdad y cada una de lasrestricciones h¡( x ) para j -1, 2,..., 1 es llamada restricción de igualdad. Un vector x que satisface todas las estricciones es llamado una solución factible al problema.
La colección de todas las posibles soluciones forman la región factible. El problema de programación no lineal es encontrar un punto factible x tal que f(x) > f(X) para cada punto factible x. Un punto tal x es llamado una solución...