Programacion No Lineal

Ejemplos de programacion no lineal
• Ejemplo 1: Un joven ingeniero de una compa~na ha sintetizado un nuevo fertilizante
hecho a partir de dos materias primas. Al combinar cantidades de las materias primas
basicas x1 y x2, la cantidad de fertilizante que se obtiene viene dada por Q = 4x1 +
2x2 − 0:5x
2
1 − 0:25x
2
2
. Se requieren 480 euros por unidad de materia prima 1 y 300 euros
porcada unidad de materia prima 2 que se empleen en la fabricacion del fertilizante (en
estas cantidades se incluyen los costos de las materias primas y los costos de produccion).
Si la compa~na dispone de 24000 euros para la produccion de materias primas, plantear
el problema para determinar la cantidad de materia prima de forma que se maximice la
cantidad de fertilizante.
Las variables dedecision del problema son:
x1 : cantidad de materia prima 1
x2 : cantidad de materia prima 2
El objetivo es maximizar la cantidad de fertilizante, Q(x1; x2) = 4x1+2x2−0:5x
2
1−0:25x
2
2
Restricciones del problema:
- El coste no puede exceder el presupuesto que la empresa tiene asignado para el
fertilizante, 480x1 + 300x2 ≤ 24000
- No negatividad de las cantidades: x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 Por tanto
Max Q(x1; x2) = 4x1 + 2x2 − 0:5x
2
1 − 0:25x
2
2
s:a: 480x1 + 300x2 ≤ 24000
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0• Ejemplo 2: Una empresa produce frigor
cos y ha
rmado un contrato para suministrar
al menos 150 unidades en tres meses, 50 unidades al
nal del primer mes, 50 al
nal
del segundo y 50 al
nal del tercero. El coste de producir una cantidad de frigor
cos en
cualquier mes es su cuadrado. Laempresa puede producir si lo desea mas frigor
cos de los
que necesita en cualquier mes y guardarlos para el siguiente, siendo el coste de almacenaje
de 12 euros por unidad al mes. Suponiendo que no hay inventario inicial, formular el
programa adecuado para determinar el numero de frigor
cos que deben producirse cada
mes, para minimizar el coste total.
Las variables de decision del problema son:x1 : numero de frigor
cos a producir en el primer mes
x2 : numero de frigor
cos a producir en el segundo mes
x3 : numero de frigor
cos a producir en el tercer mes
El objetivo es minimizar los costos, Costo total= Costo de produccion + Costo de alma-
cenaje del segundo mes + Costo de almacenaje del tercer mes
Costo de produccion = x
2
1 + x
2
2 + x
2
3
Costo de almacenaje delsegundo mes = 12(x1 − 50)
Costo de almacenaje del tercer mes = 12(x1 + x2 − 50)
Por tanto, Z(x1; x2; x3) = x
2
1 + x
2
2 + x
2
3 + 12(x1 − 50) + 12(x1 + x2 − 50)
Restricciones del problema:
- Atender la demanda al
nal del primer mes, x1 ≥ 50
- Atender la demanda al
nal del segundo mes, x1 − 50 + x2 ≥ 50
- Atender la demanda al
nal del tercer mes, x1 + x2 − 100 + x3 ≥ 50
- Nonegatividad de las cantidades: x2 ≥ 0; x3 ≥ 0 Por tanto
M in Z(x1; x2; x3) = x
2
1 + x
2
2 + x
2
3 + 12(x1 − 50) + 12(x1 + x2 − 50)
s:a: x1 ≥ 50
x1 − 50 + x2 ≥ 50
x1 + x2 − 100 + x3 ≥ 50
x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
3 Formulacion de un Problema de Programacion No Lineal
(P.P.N.L.)
Un problema no lineal es un problema de programacion matematica donde la funcion objetivo
o alguna restriccion es no lineal.Forma general de un P.P.N. L.
M ax(M in) f(x1; ; x2; : : : ; xn)
s:a: g1(x1; x2; : : : ; xn)(≤; =; ≥)b1
g2(x1; x2; : : : ; xn)(≤; =; ≥)b2
gm(x1; x2; : : : ; xn)(≤; =; ≥)bmComo en Programacion lineal la funcion f(x1; ; x2; : : : ; xn) es la funcion objetivo del P.N.L.
y gi(x1; x2; : : : ; xn)(≤; =; ≥)bi
; i = 1; : : : ; m son las restricciones del mismo. Ademas se supone
que estas funcionesson diferenciables.
Notar que las caractersticas y propiedades de los P.N.L. son distintas a las de P.L. y los
algoritmos de optimizacion son tambien diferentes a los utilizados en P.L.
Tipos de Problemas de Programacion No lineal
⋄ Sin restricciones: Estos problemas son un programa matematico para los que las variables
de decision no estan restringidas. Su formulacion es de la siguiente...