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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TEMA Nº 6 (Ultima actualización 24/09/03)

FUNCIONES IMPLÍCITAS

Funciones implícitas de una variable independiente:
Definición: Se considera que “y” esfunción implícita de la variable independiente “x”, cuando está establecida indirectamente mediante una ecuación del tipo:
Consideremos la expresión: , que es la ecuación de una circunferenciaque tiene su centro en el origen de coordenadas y radio “a”.
La forma explícita, o bien de la precedente función es: o , respectivamente en ciertos convenientes dominios.
En muchos casos,dada la ecuación F(x , y) = 0, es posible pasar de la forma implícita a la forma explícita mediante procedimientos puramente algebraicos (como se ha realizado en el ejemplo dado). Pero existen tambiéncasos en que ello no es posible.
Por ello trataremos de resolver el problema de determinar las propiedades de una función definida implícitamente por , sin necesidad de pasar a la formaexplícita. No debe pensarse que toda expresión de la forma determina una función o . Es fácil dar ejemplos de funciones que igualadas a cero no determinan soluciones en términos de una variable. Asípor ejemplo, sea la función solo se satisface para el punto x = 0; y = 0, y no existe por lo tanto función y = f(x)
Otro ejemplo más drástico aún es el siguiente: , que al igualar a cero, resultaque no hay ningún valor real ni de “x” ni de “y” que satisfaga la expresión precedente.
Se comprende entonces la necesidad de hallar condiciones bajo las cuales la expresión define una función oy cuales son las propiedades de éstas, en relación con las propiedades de
Antes de dar el teorema de existencia, haremos algunas consideraciones de carácter geométrico intuitivo.
La ecuaciónresulta equivalente al sistema siguiente: , cuya solución es la curva en que la superficie es interceptada por el plano z = 0 (plano x y).
Cuando esta curva de intersección exista, o en...