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Sustitución trigonométrica
Cuando calculamos áreas de un círculo o una elipse encontraremos integrales que tengan la forma de:

Nota

Generalmente se traza el dibujo de un diagrama en donde aparezca un triángulo rectángulo, colocando un  que vamos a interpretar como uno de los ángulos de este triángulo. Para evaluar la integral se colocan los datos recibidos en ella en loscatetos/hipotenusa correspondientes, y es allí en donde utilizamos las sustituciones trigonométricas, por medio de las identidades trigonométricas para expresar de la manera que mejor convenga , , , etc.

Es parecido a utilizar el método de Sustitución, solo que aquí sustituimos con las identidades trigonométricas.
Sustitución #1 


despejar la x de la siguiente manera:Sustitución #2 

despejamos X de tal manera que

y



Sustitución # 3 


despejamos X y nos quedaría de la siguiente manera
y
por lo tanto

entonces :




Ejemplo:1



Utilizamos nuestro triangulo para obtener función trigonométrica:

Despejamos  luego le sacamos su diferencial y nos quedaría de la siguiente manera:



Luegotenemos:
 

Despejamos  nos queda asi:

Luego sustituimos nuestros datos en la integral y queda de la siguiente manera:

En esta parte se eliminan  y  y nos queda:

Como el  es una constante lo podemos sacar de la integral, y utilizamos la identidad trigonométrica 

La integral de 
Ya por ultimo sacamos  de nuestro triangulo y el resultado final es:

Ejemplo:2


Utilizamosnuestro triangulo para obtener nuestras funciones trigonométricas:
 luego despejamos  y le sacamos su diferencial:


Para  intentamos buscar una función trigonométrica para que sea mas fácil sustituirla en la integral, la que se va utilizar seria :


Ahora que tenemos nuestros datos lo podemos sustituir en la integral, y operamos:

Sabemos que la 
Luego solo buscamos una función trigonométricade nuestro triangulo y el resultado final es:




Ejmplo:3

 
Como se puede notar esta función no tiene ninguna de las formas (a+x, a-x,x-a) 
pero podemos complementar al cuadrado. 
 

formamos el triangulo. 

tenemos que: 
 
 
 
 
Sustituyendo. 
 
Resolvemos. 

 
 
 
 
bucamos la funcion trigonometrica en el triangulo. 
 
--Jorgetr 16:01 31 jul 2009 (UTC)
Ejemplo:4 
IMAGEN 
 
 
derivamos. 
 
 
elevamos al cuadrado. 
 
Sustituidos. 

 

Simplificando 

 

 

 

despejamos \Theta . 

 

 

Sustituimos. 


--Jorgetr 17:15 31 jul 2009 (UTC)
Ejemplo:5







Elevamos al Cubo 

Sustituimos en la Integral 




Integramos y nos queda 












Integrales Trigonométricas
Son aquellas integrales quetienen funciones trigonométricas elevadas a exponentes. Para su mejor comprensión se ha separado en diferentes  casos.
Caso 1
Integrales de la forma



Identidad trigonométrica
 cos2 x + sen2 x =1
Protocolo a seguir







UNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados ,aparecen con frecuencia en lassoluciones de ecuaciones diferenciales Sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectabas pero restringiendo los dominios se puede hallar la inversa RECORDAR LA FUNCION SENO La función y=sen x no es uno a uno en su dominio natural porque al trazar cualquier recta horizontal corta la grafica en más de unpunto El condominio es [-1, 1],su grafica es lA FUNCION SENO CONDOMINIO RESTRINGIDOF(X)=sen x en el intervalo
]2,2[
π π 
−
Es creciente y por lo tanto inyectaba es decir existe la inversa su dominio
] 2,2[
π π 
−
Y el recorrido es [-1, 1

Funciones Trigonométricas y sus Inversas





























Ejemplo1
Dado que  y , encuentre los valores de...