programacion

ALGEBRA LINEAL
MATERIAL COMPLEMENTARIO
Curso 2012 - 13
Grupo Dobles Grados
Las notas que siguen completan algunas demostraciones del libro [2]. Los
ejercicios que siguen NO aparecen en [2].

1

2
x

3

NOTA PREVIA (Grupos, Anillos y Cuerpos)
A. Definiciones
Un conjunto K con dos operaciones internas, convencionalmente denotadas + (’suma’) y · (’producto’), es un cuerpo si cumple(1) − (10):
En primer lugar, (K +) es un grupo conmutativo (o abeliano), esto
es, verifica:
(1) Asociativa: ( + ) +  =  + ( + ), para todos    ∈ K
(2) Existe elemento neutro, denotado 0 ∈ K, tal que 0 +  =  + 0 = ,
para todo  ∈ K
(3) Conmutativa:  +  =  + , para todos   ∈ K
(4) Para cada  ∈ K, existe elemento opuesto, denotado − ∈ K, tal
que  + (−) = (−) +  =0
Además (K + ·) verifica:
(5) Distributiva por la izda.:  · ( + ) =  ·  +  · , para todos    ∈ K
(6) Distributiva por la dcha.: ( + ) ·  =  ·  +  · , para todos    ∈ K
Finalmente, (K ·) verifica (NO es un grupo conmutativo!!):
(7) Asociativa: ( · ) ·  =  · ( · ), para todos    ∈ K
(si (K + ·) verifica (1) − (7), se dice que es un anillo)
(8) Existeelemento unidad, denotado 1 ∈ K (y distinto de 0) tal que
1 ·  =  · 1 = , para todo  ∈ K
(si un anillo verifica (8), se dice que es un anillo con unidad)
(9) Conmutativa:  ·  =  · , para todos   ∈ K
(si un anillo verifica (9), se dice que es un anillo conmutativo)
(10) Para cada (6= 0) ∈ K, existe elemento inverso, denotado −1 ∈ K,
tal que  · −1 = −1 ·  = 1
(Ejemplos 1) Conla suma y producto usuales, los conjuntos Q (racionales),
R (reales) y C (complejos) son cuerpos. El conjunto Z (enteros) es un anil˙
lo conmutativo con unidad (NO es un cuerpo, falla (10)) y el conjunto {2}
(enteros pares) es un anillo conmutativo sin unidad (fallan (8) y (10)).
(Ejemplos 2) Si (K + ·) es un cuerpo, los conjuntos P(K) (polinomios en
una indeterminada con coeficientes en K)y M1 (K) (matrices cuadradas
de orden   1 sobre K) son (con las definiciones ’naturales’ de suma y
producto) anillos con unidad, conmutativo el primero y no conmutativo el
segundo. NINGUNO de los dos es un cuerpo: polinomios (resp. matrices
cuadradas) no idénticamente nulos pueden anularse para algún valor de la
indeterminada (resp. tener alguna fila nula) y carecer de inverso.

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B.Observaciones
(2)

(2)

() En un grupo el elemento neutro es único [00 = 00 + 0 = 0] y el
(2)

(4)

(1)

elemento opuesto es único [∼  = (∼ ) + 0 = (∼ ) + ( + (−)) = ((∼
(4)

(2)

) + ) + (−) = 0 + (−) = −].

Escribimos  −  ≡  + (−) y se tiene:  −  = 0

(4) & ()

⇒

 = .

() En un grupo se tiene la implicación:  +  =  ⇒  = 0
(4)

(1)

(4)(2)

En efecto:  = + ⇒ 0 = − = (+)− = +(−) = +0 = .
Sin embargo, en general:  +  = 0 ;  = 0 (ver () y Ejemplos 4).
() En un anillo se verifica: 0 ·  =  · 0 = 0
(2)

()

(6)

En efecto: 0 ·  = (0 + 0) ·  = 0 ·  + 0 ·   ⇒ 0 ·  = 0. Y análogamente
para la otra.
En particular, no existe 0−1 [ya que debería ser 0 · 0−1 = 1]
() En un anillo se verifica:−( · ) = (−) ·  =  · (−)
(6)

(4)

()

()

En efecto:  ·  + (−) ·  = ( − ) ·  = 0 ·  = 0, ⇒ −( · ) = (−) · .
Y análogamente para la otra.
En particular, − = (−1) · .
(8)

(8)

() En un anillo el elemento unidad (si existe) es único [10 = 10 · 1 = 1]
() Un anillo puede tener divisores de cero (esto es, elementos  6= 0
tales que existe  6= 0 con  ·  =0), ver Ejemplos 3.
Pero ningún elemento que tenga inverso (lo que presupone que el anillo
tiene unidad) puede ser divisor de cero.
(8)

Hip.

(7)

En efecto: si ∃−1 y  ·  = 0, entonces se tiene:  = 1 ·  = (−1 · ) ·  =
Hip.

()

−1 · ( · ) = −1 · 0 = 0.
En particular, un cuerpo no tiene divisores de cero

˙ (sin unidad)
(Ejemplos 3) Los anillos conmutativos Z...