Programación lineal para maestros

I. NOCIONES PREVIAS : FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

El Objetivo de este punto es el de recordar al lector aquellos conocimientos de álgebra lineal, espacios vectoriales que se utilizan frecuentemente en este trabajo. Se empieza con un repaso de álgebra lineal (vectores y matrices), solución de sistemas de ecuaciones lineales, para continuar con espacios vectoriales, nociones de dependencia eindependencia lineal, bases teoremas relativos a sistemas de ecuaciones lineales y desigualdades lineales (que utilizan en la sección teórica de la programación lineal y dualidad). Se finaliza con un repaso de los conjuntos convexos.

I.1 Vectores y Matrices

Se llama vector al conjunto ordenado de n números reales x1, x2, ...., xn y se escribe :X [pic]
En que n es cualquier número natural.

Los vectores pueden ser de dos tipos: el llamado vector renglón, cuya representación es :
X[pic] y el denominado vector columna, cuya representación es:

X [pic]
Se llama escalar al vector que tiene una sola componente, por ejemplo Z=(3) es un escalar.Operación con vectores

SUMA DE VECTORES

Dados : X [pic] y Y [pic]
Se define como [pic], al vector Z, cuyas componentes [pic], i = 1, ..., n se define como:

zi = xi [pic] yi
Ejemplo:
Sea X = (1, -2, 4) y Y = (4, 2, -3) entonces

Z =[pic] = ( 1 + 4 , -2 + 2 , 4 + (-3) ) = (5 , 0 , 1 )

▪ Propiedad de laSuma de Vectores.

Propiedad Conmutativa : [pic]
Propiedad Asociativa : [pic]
Propiedad Aditivo : [pic]
Modulo de la adición: [pic]

MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.

Dado un vector : X [pic] y un escalar (,[pic]- ( ( ( ( (, se define al producto de un escalar por un vector, como un nuevo vector tal que:Y = ( X [pic]
Ejemplo:
Sea X = (1, -2, 4) y el escalar ( = 3 , se define:
Y = ( X = 3(1, -2, 4) = (3, -6, 12)

▪ Propiedades:

Dados : X [pic] y Y [pic] con el mismo número de componentes y un escalar (, se tiene la siguiente propiedad distributiva

( [pic] (X + ( Y

y la siguiente propiedad asociativa
( ((X ) = (( () X
también se tiene:
( ( + ()X = ( X + (X
Si ( = 0 , se tiene 0 X = 0,
Y si ( = 1 se tiene 1X = X

Matrices y determinantes

Se define como matriz a un arreglo rectangular denúmeros escritos de la siguiente forma:

La matriz A es de orden m por n, es decir, tiene m filas y n renglones. Cualquier elemento de la matriz queda identificado por su posición relativa a los demás elementos, es decir, por la fila y la columna que ocupa.

Sea [pic]el elemento típico de la Matriz A ubicado en la fila i (i = 1,...,m) y columna j (j=1,…,n). A la matriz también se le puederepresentar por medio de sus elementos típicos de la siguiente manera.

[pic]

Tipos de Matrices

Matriz cuadrada. Es aquella matriz donde m = n, es decir, tiene igual número de filas que de columnas.
Matriz Rectangular. Es aquella matriz donde m ( n
Matriz Diagonal. Es aquella matriz cuadrada donde [pic]= 0 para i ( j. Por ejemplo:[pic] y [pic] son matrices diagonales

Matriz Escalar. Es aquella matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son iguales.
Matriz identidad. Es aquella matriz cuadrada donde [pic] = 0 si i (j, y [pic] = 1. Si i = j, i = 1, ........., n ; j = 1,……..,n, .Por ejemplo , la siguiente ,matriz , es una matriz identidad de orden 4x4....