Programación Lineal

Programación Lineal   
Ejemplo: El agricultor Lopez tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?¿Cuál es ésta utilidad máxima?Maiz: Utilidad: $40 por has. Trabajo: 2hs  por has.
Trigo: Utilidad:  $30 por has. Trabajo: 1hs  por has

Un problema de Programación Lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) la función:
[pic]
sujeta a:       [pic]
[pic], [pic], ………………….,[pic]
A la función  [pic] se le denomina función objetivo o función criterio. 
Los coeficientes  [pic] son números reales  y se llamancoeficientes de beneficio o coeficientes de costo. Son datos de entrada del problema.
[pic] son las variables de decisión (o niveles de actividad) que deben determinarse.
Las desigualdades  [pic], con  [pic] se llaman restricciones.
Los coeficientes  [pic], con [pic] y [pic] son también números reales conocidos y se les denomina coeficientes tecnológicos.
El vector del lado derecho, es decir lostérminos  [pic] con  [pic] se llama vector de disponibilidades o requerimientos y son también datos conocidos del problema.
Las restricciones  [pic] con  [pic]  se llaman restricciones de no negatividad.
Al conjunto de valores [pic]que satisfacen simultáneamente todas las restricciones se le denomina región factible. Cualquier punto dentro de la región factible representa un posible programa deacción. 
La solución óptima es el punto de la región factible que hace máxima o mínima la función objetivo.
En un problema de Programación Lineal, según sean las restricciones, se obtendrán polígonos diferentes, acotados o no, y según sea la posición de la función objetivo respecto de dicho polígono se pueden originar diferentes situaciones. Según el tipo de soluciones que presenta un problema deProgramación Lineal puede ser:
Factible: si existe la región factible. En este caso podemos encontrar:
▪ Óptimo finito y único. La solución óptima es un único punto con coordenadas reales.
▪ Múltiples óptimos. La solución puede tener más de un óptimo, (finitos o infinitos).
▪ Óptimo infinito. Un problema de Programación Lineal puede tener un óptimo no finito, es decir, lafunción objetivo puede tomar, un valor tan grande o tan pequeño como se quiera, sin abandonar la región factible.
▪ Región factible no acotada, óptimo finito. La no acotación de la región factible no implica necesariamente óptimo infinito. Puede ocurrir que la función objetivo alcance el óptimo en la zona acotada de la región factible. 
▪ Región factible no acotada, óptimo finito einfinito. Puede darse el caso que todos los puntos de una de las semirrectas que determinan la región factible no acotada sean solución del problema.
No factible. Región factible vacía. El conjunto de restricciones de un problema de Programación Lineal puede ser incompatible, conduciendo a una región factible vacía.

Resuelva:
1) Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacerbicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a $ 2000 y $1500 cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?
2) Un autobús Porto Alegre -Buenos Aires ofrece plazas para fumadores a U$ 120 y a no fumadores a U$ 80. Al nofumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizara el beneficio?
3) Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se...