Programación Lineal

Programación Lineal
Cuando se habla de programación lineal (PL) se refiere a varias técnicas matemáticas empleadas para asignar, de forma óptima, los recursos limitados a distintas demandas, tareas, operaciones o productos que compiten entre ellos, es decir, la programación de actividades para obtener un resultado óptimo. La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir yformular el problema; y el aspecto de lineal se refiere a que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales (Ecuaciones o Inecuaciones).
A. Planeamiento o formulación del problema
Método Gráfico
El método gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muyrico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima).
Problema
Lafábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.
El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 elmetro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?
La Modelización Mediante Programación Lineal
Variables
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar 
XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar
Restricciones
0,12XT + 0,2XT’ <= 500              Hilo “a”
0,15XT + 0,1XT’ <= 300              Hilo “b”
0,072XT + 0,027XT’ <= 108       Hilo “c”
Las restricciones de no negatividad no son necesarias en este ejemplo dado que se trata de un ejercicio de maximización, cuando el ejercicio sea de minimización lo más recomendado es incluirlas.
 
Función objetivo
ZMAX = 4000XT + 5000XT’
La Solución Mediante Método Gráfico
Graficar las restricciones
Para iniciar con el trazado de las restricciones es indispensable igualar lasrestricciones a 0, de esta manera podemos mediante despeje de ecuaciones iniciar con la tabulación que nos otorgará las coordenadas para esbozar cada una de las gráficas. Además dado que se trabajará en el plano cartesiano sería prudente renombrar las variables.
XT = x
XT' = y
Igualamos las restricciones,
0,12X + 0,2y = 500            
0,15X + 0,1y = 300      
0,072X + 0,027y = 108
Acto seguidoiniciamos con la primera restricción, hallamos las primeras dos coordenadas. Para hallar las coordenadas regularmente llevamos una de las variables a cero, para de esta manera despejar más fácilmente la segunda.
Por ejemplo,
Para un x = 0
0,12(0) + 0,2y = 500
0,2y =  500
500/0,2 = y
2500 = y 
Y para un y = 0
0,12x + 0,2(0) = 500
0,12x = 500
x = 500/0,12
x = 4167



Primera restricción


Segundarestricción
 0,15X + 0,1y = 300


Tercera restricción
0,072X + 0,027y = 108


En el siguiente gráfico se muestra el polígono solución de color gris, en este conjunto es donde cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales se caracterizan por ser restricciones de menor o igual y esta característica se representa con una flecha hacía abajo.

Una vez se llega a este punto es indispensable saberque las soluciones óptimas se alojan en los vértices del polígono solución (color gris) y que identificar a la solución óptima es cuestión de elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas disponibles (tecnológicas y conocimientos matemáticos).
 La primera opción es la geométrica, esta depende de trazar la ecuación que representa a la función objetivo (este paso consiste en...