programación no lineal

Analizar los fundamentos de la programación no lineal:
CALCULO CLÁSICO:

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
El Método de los multiplicadores de Lagrange es un método para resolver problemas deprogramación no lineal, es decir, problemas en los que tanto la función objetivo y las funciones de restricciones son no lineales, es decir, problemas de la forma.
maximizar f (x) 
Sujeto a gi (x) = 0
Congi: Rn → R f: Rn → R y x ∈ Rn 
i entero positivo, con 1 ≤ i≤ m 
Suponemos que tanto f, como las gi son funciones al menos, dos veces diferenciables
La idea es estudiar las curvas de nivel de lafuncion f, es decir, aquellos valores vectoriales x en los que
N (f, k) = { x∈ Rn : f(x) = k}
Como quiera que f, está restringida a gi(x) = 0, el conjunto factible será la intersección de esteconjunto con el conjunto de nivel 0 de cada una de las gi, es decir cada conjunto
N (gi, 0) = { x∈ Rn : gi (x) = 0}
Y así
RF = Región factible = N (f, k) ∩ N (gi, 0) , con i = 1, 2, ..., m
Teoría enExtensión
Lo primero de todo es notar que por ser f continua y RF compacto (intersección de compactos), f alcanza su máximo en RF (y su mínimo).
Supongamos que f tiene un máximo en el punto x0 ysupongamos por ahora que
f(x0)≠ 0 .
Si nos desplazamos por los conjuntos de nivel de la f en la direcciónde mayor crecimiento de la función, esto es en la dirección de
f, para el punto x0 falcanza el máximo, supongamos el valor k0, por tanto tendremos el conjunto de nivel N (f, k0).
Por otro lado, por estar x0 en la región factible, este conjunto de nivel intersecta con a cada N (gi, 0) enel punto x0.
Se puede demostrar que en x0, los conjuntos de nivel N (f, k0) y N (gi, 0) se cortan de manera tangente, es decir
f y
gi son paralelos ∀ i , por tanto se tiene que


f (x0) =λi
gi (x0)
Por tanto el máximo de f restringida a gi = 0 es el máximo de la función
L(x, λ) = f(x) - λi gi(x)
A los números λi se les llaman multiplicadores de Lagrange
Recordando la...