Programas En Matlab Para Calcular Raices Complejas

Aplicaciones en Matlab
P.Salinas y J.Tito Carrera Ingenier´ Petrolera e Ingenier´ de Telecomunicaci´n ıa ıa o Universidad Privada Boliviana 28 de junio de 2012
Resumen Se realizaron tres programas en Matlab que calculan las caracteristicas de una esfera, la distancia entre un punto y una recta y otro que calcula las raices en´simas de un n´mero complejo. Con el f´ de e u ın poder utilizar losprogramas con cualquier valor deseado y facilita la comprobaci´n del trabajo. o

1.

Introducci´n o

En geometr´ una esfera es un cuerpo geom´trico limitado por una suıa, e perficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. La esfera, como s´lido de revoluci´n, se genera haciendo girar o o una superficie semicircular alrededor de su di´metro.[1] a x2 +y 2 + z 2 + Dx + Ey + F z + G = 0 (1)

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.[2] |(P e − P o) × a| (2) |a| La ra´ ensima de n´ mero complejo es otro n´ mero complejo tal que su m´duız u u o lo es la en ra´ en´sima del m´dulo.[3] ız e o d= z N = r(1 /N)[cos(
1

θ + 2kπ θ + 2kπ ) + isin( )] N N 1

(3)

2.Programas

A continuaci´n se presenta el c´digo para calcular las caracter´ o o ısticas de una esfera: 1 clc 2 clear 3 %Graficar y hallar las caracteristicas de x^2+y^2+z^2+dx+ey+fz+g=0 4 %Siendo h,j,k coordenadas del centro de la esfera y r su radio 5 d=num; 6 e=num; 7 f=num; 8 g=num; 9 h=-(d/2); 10 k=-(e/2); 11 j=-(f/2); 12 r=sqrt((d.^2/4)+(f.^2/4)+(e.^2/4)-g); 13 if r > 0 14 fprintf(’El centro dela esfera es h=%0.4f k=%0.4f j=%0.4f \n’,h,k,j); 15 fprintf(’\n El radio de la esfera es r=%0.4f \n’,r); 16 [x y z] =sphere; 17 x=h+r*x;y=k+r*y;z=j+r*z; 18 surf(x,y,z) 19 else 20 fprintf(’Los datos no pertenecen a una esfera!!!\n’); 21 end A continuaci´n se presenta el c´digo del programa que calcula la m´ o o ınima distancia entre un punto y una recta: clc clear %Pe coordenadas del punto %Po puntocualquiera de la recta %a vector direccion Pe=[Xe Ye Ze]; Po=[Xo Yo Zo]; 2

a=[ax ay az]; d=(cross((Pe-Po),a))/norm(a); fprintf(’distanciapuntorecta d=(corss((Pe-Po),a))/norm(a) d=%0.5f’,d) t=[-3:0.1:3]; %L=(Xo,Yo,Zo)+t(ax,ay,az) %(x,y,z)=(Xo+ax,Yo+ay,Zo+az) x=Xo+ax; y=Yo+ay; z=Zo+az; plot3(x,y,z) hold on scatter3(Pe(1),Pe(2),Pe(3)) hold on A continuaci´n se presenta el c´digo del programa quecalcula las ra´ en´sio o ıces e mas: 1%Este programa halla las raices n-simas de un numero complejo 2%los numeros complejos deben estar en la forma z=a+bi 3%Su formula es z^(1/N)=r^(1/N)*(cos((tetha+2*k*pi)/N)) %+i 4sin((tetha+2*k*pi)/N))) 4%Introducir el numero al cual desea sacar la raiz n-sima en la linea 10,11 5%remplazar los valores de p,q,y 6%Introducir la raiz que desea obtener en la linea12 7%se recomienda llevar el numero a la forma z=a+bi para la lectura 8 clear 9 clc 10 a=p; 11 b=q; 12 N=y; 13 t=atan2(b,a) 14 r=sqrt((a.^2)+(b.^2)) 15 16 for s=0:1:N 17 Z=r^(1/N)*((cos((t+2*s*pi)/N))+i*sin((t+2*s*pi)/N)) 18 A=r^(1/N)*(sin((t+2*s*pi)/N)); 19 B=r^(1/N)*(cos((t+2*s*pi)/N)); 20 3

21 xlabel(’Numeros Reales’) 22 ylabel(’Numeros Imaginarios’) 23 hold on 24 plot(Z) 25 compass(Z) 2627 end

3.

Ejemplos

Ejemplo1: Hallar las caracter´ ısticas de la esfera que tiene la siguiente ecuaci´n: o x2 + y 2 + z 2 + 8x + 12y + 16z + 10 = 0 (x + 4)2 + (y + 6)2 + (z + 8)2 = 106 centro(−4, −6, −8) radio = 10,2956 (4) (5) (6) (7)

clc clear %Graficar y hallar las caracteristicas de x^2+y^2+z^2+dx+ey+fz+g=0 d=8; e=12; f=16; g=10; h=-(d/2); k=-(e/2); j=-(f/2);r=sqrt((d.^2/4)+(f.^2/4)+(e.^2/4)-g); if r > 0 fprintf(’El centro de la esfera es h=%0.4f k=%0.4f j=%0.4f \n’,h,k,j); fprintf(’\n El radio de la esfera es r=%0.4f \n’,r); [x y z] =sphere; x=h+r*x;y=k+r*y;z=j+r*z; surf(x,y,z) else 4

5 0 −5 −10 −15 −20 10 0 −10 −20 −10 −15 0 −5 10 5

Figura 1: Puede apreciarse la esfera fprintf(’La ecuaci\’on no representa una esfera\n’); end Ejemplo2: Hallar las caracter´ ısticas...