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4.1.3 Algunos hechos importantes acerca de las diferencias divididas de Newton: las siguientes son algunas de las propiedades más importantes de las diferencias divididas de Newton:
1. Si esuna permutación de (n10z,,z,zK ) ()n10x,,x,xK, entonces
[][]n10n10x,,x,xfz,,z,zfKK=
CASO PARTICULAR: [][]0110x,xfx,xf=
( Esta propiedad es consecuencia de la unicidad del polinomiointerpolante para los nodos). n10x,,x,xK
2. Si es n-veces continuamente diferenciable en f[]b,a (es decir, ) y son números distintos en [b,aCfn∈ ]
n10x,,x,xK[]b,a, entonces existe ()b,a∈ξ tal que[]()()!nfx,,x,xfn110ξ=K
CASO PARTICULAR: []()()ξ′=ξ′=f!1fx,xf10 para algún ξ entre y (teorema del valor medio). 0x1x
3. Si es un número intermedio entre los nodos , entonces el error al aproximarmediante el polinomio de interpolación xn10x,,x,xK()xf()xpn para en los nodos dados es: f
()()()[]()()()n10n10nxxxxxxx,x,,x,xfxpxfx−−−=−=∈KK
4. Sea , con conteniendo a los números . Entonces [b,aCfn∈ ] ] [
b,an10x,,x,xK
[]()()[]444344421KKK00n21xveces1n0000nn10xx,x,xx,,x,xf!nxfx,,x,xflim+→≡=
CASO PARTICULAR: []()(),xxxfxfx,xf010110−−=[]()()()[]0000101xx10xxx,xfxfxxxfxflimx,xflim0101≡′=−−=→→
Se definen las siguientes diferencias divididas con repetición:
Capítulo 4. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL Y AJUSTE POLINOMIAL 207____________________________________________________________

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[]()[]()[]()()1k ,!kxfx,,x,xf!2xfx,x,xfxfx,xf0kxveces1k00000000000≥=′′=′=+444344421KM ∇
Esta definición extendida de diferencia dividida con repetición, esválida siempre que tenga derivada continua en , del orden correspondiente. Tenga cuidado para . f0x2k≥
4.1.4 Interpolación de Hermite: Esta interpolación se refiere a la interpolación de unafunción f y algunas de sus derivadas en un mismo conjunto de nodos.
Como primer ejemplo, supongamos que queremos encontrar un polinomio, de menor grado posible, que satisfaga ()()21p,10p== y...