Programocion Dinamica

Ejercicio 1: Considere el siguiente problema se control óptimo:
Optimizar:
V[x(t)]=3∫_0^4▒〖x dt〗
sujeto a:
x ̇=x+u
x(0)=5
u∈[0;2]
Halle las trayectoriasdinámicas de x(t) y u(t)

Sea la hamiltoniana: H=x+λ(x+u) … (1)
PRINCIPIO DEL MÁXIMO:
Dado que H es lineal, con respecto a u, se plantea: ∂H/∂u≠0
Se aprecian 2 situaciones
a.1. Si ∂H/∂u>0 → λ>0→u=2 … (2)
a.2. Si ∂H/∂u0∴u=2 … (9)
(9) en (4): x ̇=x+u →x ̇-x=2
Resolviendo: x=A_1 e^t-2
Por las condiciones: x(0)=5 →A_1 e^0-2=5
A_1=7Finalmente:
x(t)=A_1 e^t-2 → x(t)=7e^t-2
u(t)=2
λ(t)=e^(4-t)-1

Grafique x(t) , u(t)




Halle el valor óptimo

V[x(t)]=3∫_0^4▒〖x dt〗 → V=3∫_0^4▒( 7e^t-2 )dtV=3(367,1870502)

V=1101,561151

Ejercicio 3:
Considere el siguiente problema se control óptimo:
Optimizar:
V=∫_0^6▒〖-5y dt〗
sujeto a:
y ̇=y+u
y(0)=8
Además:
u∈[1;3]
Construyendo la hamiltoniana:H=-5y+ﺩλ(y+u)…………….(1)
Por el principio del máximo MaxUH: t∈[1;6]; ῼ∈[1;3]
sabemos que existe una relación lineal entre H y u.
Por lo tanto aplicamos lo siguiente: ∂H/∂u≠0…………………………………(2)Existen dos opciones:
Si ∂H/∂u>0→u=3; si∂H/∂u0 ∂H/∂u>0→u=3…………………………(3)
Si λ˂0 ∂H/∂u0
Nos falta la variable de control y de estado:t∈[0;6]→u=3…………..(12)
Tomando en cuenta la expresión (6) se reemplaza (12)en (6):
y ̇-y=3→y(t)=Ae^t-3…………………………..(13)
Aplicando la condición inicial: y(0)=8→A-3=8→A=11………………..(14)
Reemplazando (14) en(13): y(t)=11e^t-3……………………..(15)

Solución: ∀t∈[0;6]→y(t)=11e^t-3;λ(t)=-5e^(t-6)+5;u(t)=3

∫_0^6▒〖-5(11e^t-3)dt→∫_0^6▒〖-55e^t+15 dt→〗〗=-22098.5836422 Valor optimo
Interpretación: cuando lavariable de control es igual a tres la trayectoria optima es convexa y permite obtener un valor optimo de -22098.5836422 en el funcional eso quiere decir que el recurso es agotable en el...