Progresion Geometrica Definitivo

Progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.


Ejemplos:
1) Si tenemos la sucesión:3, 6, 12, 24, 48, ... ¿calcular la razón?

Solución:
Para este ejercicio se tiene que dar la serie, tomar dos términos consecutivos y aplicar la formula:


6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r=2.

2) Identificar los tres primeros términos y la razón en las siguientes progresiones geométricas:

a) 1,3,9,27,…
a1 = 1 a2 = 3 a3 = 9
= = 3

b) 90,-30,10,,…
a1 = 90 a2 = -30 a3 = 10
= =

c)3,6,12,24,…
a1 = 3 a2 = 6 a3 = 12
= = 2


Término general de una progresión geométrica

1. Si conocemos el 1er término.
an = a1 · rn-1

Ejemplo:
Calcular el término general de la progresióngeométrica de la serie 3, 6, 12, 24, 48,

Solución:
Como se da la serie, se conoce el término a1, faltaría calcular la razón
a1 = 3 r = =
luego se sustituye la formula: an = a1 · rn-1
an = 3· 2n-1 =3· 2n · 2-1 =  = · 2n

an = · 2n
Para comprobar si este es el término de la progresión geométrica, se pueden calcular cada término
a1 = · 21 = . 2 = = 3

a2 = · 22 = . 4 = = 6

a3 = · 23= . 8 = = 12

a4 = · 24 = . 16 = = 24

a5 = · 25 = . 32 = = 48


2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak · rn-k

Ejemplo:
Calcular el términogeneral de la progresión geométrica, teniendo los siguientes datos: a4= 24, k=4 y r=2.

Solución:
Como se nos dan los valores necesarios se sustituyen en la formula:
an = ak · rn-k
an = a4 · rn-4
an =24· 2n-4= = = = · 2n = . 2n 
an = · 2n

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica creciente


Ejemplo:
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24,48, ...

Solución:
Se conoce que n=5, a1=3 y an= a5= 48
Pero se desconoce la razón, que se puede calcular con la formula:

Tomando dos valores consecutivos de la serie
= = 2
Ahora se sustituye...