Progresion geometricas en power point

Progresiones Geom´ tricas e

1

Progresiones Geom´ tricas e
Una sucesi´ n a1 , a2 , a3 , ..., an , ... es una progresi´ n geom´ trica si y s´ lo si si existe un n´ mero real r = 0 o o e o u tal que an+1 =r an para todo entero positivo n. Nota 1 Al n´ mero r se le llama raz´ n com´ n, raz´ n de la progresi´ n o simplemente raz´ n. u o u o o o

Con la anterior f´ rmula podemos obtener enfoma recursiva los t´ rminos de la progresi´ n. As´, o e o ı an+1 = an · r Haciendo algunas transformaciones algebraicas, obtenemos a1 , a1 r, a1 r2 , a1 r3 , a1 r4 , ... De donde, el en´ simo t´ rmino de la progresi´ n esta dada por la f´ rmula: e e o o an = a1 · rn−1 Esta f´ rmula nos dice que un t´ rmino cualquiera es igual al primer t´ rmino multiplicado por la raz´ n eleo e e o vada a unpotencia igual al n´ mero de t´ rminos que lo preceden. u e Ejemplo 1 ¥ Hallar los cinco primeros t´ rminos y el d´ cimo t´ rmino de la progresi´ n cuyo primer t´ rmino e e e o e ¦ 1 es 3 y en que la raz´ n es − 2 . o Soluci´ n: o Si a1 = 3 y r = − 1 , entonces los cinco primeros t´ rminos son e 2
1 a2 = a1 · r = 3 · (− 2 ) = − 3 , 2 1 a3 = a1 · r = 3 · (− 2 )2 = 3 , 4 1 a4 = a1 · r = 3 · (− 2 )3 = − 3y 8

§

¤

a5 = a1 · r = 3 · (− 1 )4 = 2 La progresi´ n buscada es: o

3 . 16

3 3 3 3 3, − , , − , 2 4 8 16 Para hallar el t´ rmino a10 usamos la f´ rmula an = a1 · rn−1 , obtenemos e o a10 = 3(− 1 )9 = 2
3 . 512

Finalmente,

www.matebrunca.com

Profesor Waldo M´ rquez Gonz´ lez a a

Progresiones Geom´ tricas e

2

a10 = −
§ ¤

3 512

Ejemplo 2 ¥ Encuentre el s´ptimo t´ rmino de la progresi´ n geom´ trica: 2, 6, 18, ... e e o e ¦ Soluci´ n: o Encontraremos a7 , con r =
6 2

=3

a7 = a1 · r6 = 2 · 36 = 1458. Cuando los t´ rminos de la progresi´ n son alternativamente positivo y negativo, la raz´ n sera un e o o n´ mero negativo. u Ejemplo 3 ¥ el tercer t´ rmino de una progresi´ n geom´ trica es 5 y el sexto t´ rmino es -40, hallar el octavo Si e o e e ¦t´ rmino. e Soluci´ n: o Tenemos a3 = 5 y a6 = −40. Si sustituimos por n=3 y n=6 en la f´ rmula an = a1 · rn−1 obtendremos el o sistema: 5 = a1 r 2 −40 = a1 r5 Como r = 0, despejamos en la primera ecuaci´ n y: a1 = o Susitituimos en la segunda ecuaci´ n a a1 , o −40 =
5 r2 5 . r2

Nota 2

§

¤

· r5 = 5r3 .

Por tanto, r3 = −8 y r = −2. con este valor encontramos a1 , sustituyendoadecuadamente. a1 = 5 . 4 De aqui el trabajo de encontrar a8 es meramente mec´ nico. a a8 = a1 · r7 = 5 (−2)7 = −160 4
§

Ejemplo 4 ¥ sexto t´ rmino de una progresi´ n geom´ trica es El e o e ¦ Soluci´ n: o Aqui, a6 =
1 16

¤

1 16

y la raz´ n 1 . Hallar el primer t´ rmino. o 2 e

y r = 1. 2

Despejando en la f´ rmula a6 = a1 · r5 o a1 =
a6 , r5

Progresiones Geom´ tricas e
1 16 1 5(2)

3

a1 =
§

= 2.
¤

Ejemplo 5 ¥ 1er t´ rmino de una progresi´ n geom´ trica es 3 y el 6to t´ rmino -729. Hallar la raz´ n. El e o e e o ¦ Soluci´ n: o Aqu´, a1 = 3 y a6 = −729, encontraremos r despejando simplemente de la f´ rmula, ı o a6 = a1 · r 5 . r5 =
a6 a1

=

−729 3

= −243. Asi r5 = −243, y finalmente r = −3.

Ejercicios No 1
Escribir los primeros tres t´ rminos dela P.G. para lo cual: e 1. a1 = 11 y r = 3. 2. a1 = −5 y r = 2. 3. a1 =
3 2 2 y r = 3.

4. a1 = 3 y r = − 3 . 2 5. a1 = −5 y r = − 2 . 5 6. a1 = b y r = c. Hallar: 1. 7mo t´ rmino de la P. G.: 3, 6, 12,... e 2. 8vo t´ rmino de la P. G.: 1 , 1, 3... e 3 3. 9no t´ rmino de la P. G.: 8, 4, 2, ... e
4 4. 6to t´ rmino de la P. G.: 1, 2 , 25 , ... e 5

5. 8vo t´ rmino de la P. G.: 2 1 , 3, ... e 46. 6to t´ rmino de la P. G.: -3, 6, -12, .... e 7. 8vo t´ rmino de la P. G.: 16, -4, 1,... e 8. 4to t´ rmino de la P. G.: 5 , 1 , ... e 6 2
3 9. 5to t´ rmino de la P. G.: − 5 , 3 , − 15 , ... e 2 4 1 10. 10mo t´ rmino de la P. G.: − 3 , − 1 , − 12 , ... e 4 4

11. el primer t´ rmino si la raz´ n de una P.G. es e o

1 2

y el 7mo t´ rmino e
64 2187

1 . 64

12. el primer t´ rmino si...