Progresiones Aritméticas y Geométricas

Progresiones aritméticas
Es una secuencia de números relacionados de tal manera que cada uno, después del primero, se puede obtener del que le precede sumando a este una cantidad fija llamada diferencia de común.
En los ejemplos siguientes se ilustra la significación y aplicación de estos términos.
1. Si el primer termino es 2 y la diferencia común es 5, entonces los primeros ocho términos dela progresión aritmética son
2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37.
2. En la secuencia
16, 14½, 13, 11½, 10, 8½
Cada término, después del primero es 1½menor que el que le precede, por tanto esta es una progresión aritmética y su diferencia común es -1½.
Muchos problemas relativos a progresiones aritméticas, tienen que ver con tres o más de las cinco cantidades siguientes: el primer termino el último,el numero de términos, la diferencia común y la suma de todos los términos. Por tanto es necesario obtener formulas que permitan determinar cualquiera de esas cinco cantidades si se conocen los valores de otras tres.
Se considerará que
a = Primer término de la progresión
l = ultimo termino
d = diferencia común
n = numero de términos
s = suma de todos los términos
Ultimo termino de unaprogresión aritmética
De acuerdo con la notación anterior, los cuatro primeros términos de una progresión aritmética son
a a+d a+2d a+3d
Debe notarse que en el segundo término el coeficiente de d es uno y que dicho coeficiente se incrementa en uno cuando se pasa de un término al que le sigue. Por tanto el coeficiente de d en cualquier termino es igual al número de orden del término dela progresión menos uno. De ese modo el sexto termino es a + 5d y el noveno a + 8d y el ultimo o enésimo termino es a + (n-1)d. por consiguiente, se tiene la formula siguiente
l = a + (n – 1)d
Ejemplo: si 2,6 y 10 son los tres primeros términos de una progresión aritmética, encontrar el octavo termino.
Solución: puesto que el primero y segundo de los términos, asi como el segundo y eltercero, difieren en 4, se concluye que d = 4 ademas, a = 2, n = 8, por tanto, sustituyendo estos valores en (15.1) se tiene
l = 2 + (8 -1)4
=2 + 28
=30
Razón de una progresión aritmética
Se llama razón o también diferencia de una progresión a la diferencia entre dos términos consecutivos de una progresión aritmética.
d= αη – α (η - 1)
Donde
d = es la diferencia
α η = es cualquier termino
α (η- 1) = es el termino anterior
El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
a 1 = − 1;          a 15 = 27;      
a n = a 1 + (n - 1) · d
27= -1 + (15-1) d;       28 = 14d;         d = 2
S= (-1 + 27) 15/2 = 195
Suma de n términos de una progresión aritmética
En la progresión aritmética 5, 8, 11,14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35... Consideramos sus 8 primeros términos.

Observamos que la suma de los términos equidistantes de los extremos es siempre igual a la suma de los extremos:
a1 + a8 = a2 + a7 = a3 + a6 = a4 + a5...
Consideramos la suma de los 8 primeros términos, que llamaremos S8:
S8 = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + a8
Escribimos esa suma cambiando el orden:
S8 = a8 + a7 + ...+ a3 + a2 + a1
Sumamos ambas expresiones, término a término, y obtenemos:
2S8 = (a1 + a8) + (a2 + a7) + ... + (a8 + a1)
Los resultados de todos los paréntesis son iguales a (a1 + a8) y tenemos 8 sumandos; es decir:
2S8 = (a1 + a8) · 8
S 8 = a 1 + a 8 2 · 8
Generalizado para la suma de n términos:

La suma, Sn, de n términos de una progresión aritmética es:
S n = ( a 1 + a n ) · n 2Interpolación de medios aritméticos
 
Interpolar  (de inter , entre y polos, ejes) n números entre otros dos conocidos a y b; consiste en construir una progresión aritmética a, a1, a2, ... , an, b.
 
Para resolver este problema basta con conocer la diferencia que ha de tener la progresión, la cual se deduce sin más que tener en cuenta dos cosas:
 
1) La sucesión tiene n + 2 términos
 
2) El...