Progresiones artimeticas

Progresiones aritméticas y geométricas
Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una clase desucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1.
*an* = a*1* + (n - 1) d.
Para determinar la suma de un número finito detérminos de una progresión aritmética, denotada por a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an, basta con considerar el principio de que los pares de términos a1 y an, a2 y an-1, a3 y an-2, etcétera, son equidistantes, de manera que todos estos pares suman una misma cantidad.
Generalizando esta consideración, se tiene que la suma de todos los términos de una progresión aritmética es igual a:
{draw:frame}Interpolación de términos en una progresión aritmética
Entre cada dos términos a y b de una progresión aritmética es posible interpolar otros m términos, llamados medios diferenciales, de manera que todos ellos integren una nueva progresión aritmética (con m + 2 términos) donde a y b sean los extremos.
La diferencia de esta progresión se determinará con arreglo a la siguiente fórmula:{draw:frame}
Progresiones geométricas
Otra forma común de sucesión es la constituida por las llamadas progresiones geométricas. Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón.
El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:
an = a1 × rn-1
Sumay producto de los términos de una progresión geométrica
La suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica puede calcularse a partir de cualquiera de las siguientes expresiones:
{draw:frame}
Esta fórmula sólo es válida si r ¹ 1, ya que si r = 1 todos los términos de la progresión serían iguales, y la suma sería *Sn* = a*1* × n.
Cuando r > 1, la progresión creceindefinidamente y la suma de sus términos tiende a infinito. En cambio, si r < 1, cada término será menor que el anterior, y la progresión se irá acercando a 0 conforme aumente el número de sus términos. Cuando | r | < 1, puede demostrarse que la suma se convierte en:
{draw:frame}
Por otra parte, es fácil obtener que el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es igual a:{draw:frame}
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Entre dos términos a y b de una progresión geométrica es posible intercalar m términos, denominados medios geométricos o proporcionales, tales que todos ellos (los m + 2 términos resultantes) constituyan una nueva progresión geométrica de razón r determinada como:
{draw:frame}
Sucesión
Una sucesión aritmética puedeser definida como función de n:
{draw:frame}
También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:
{draw:frame}
Al número real r se le denomina razón de la sucesión.
Si la razón es positiva, la sucesión crece, y tiende hacia + ∞. Si es negativa, decrece y tiende hacia - ∞. Si es nula, la sucesión es constante.
Ejemplo:

Existe una fórmula muy sencilla para sumarnúmeros en progresión aritmética (es decir términos sucesivos de una sucesión aritmética): se multiplica el término medio, que es el promedio de los términos extremos, por el número de términos. Esta fórmula toma las formas siguientes, según el contexto:
Como caso particular muy frecuente: {draw:frame}
A veces lo más difícil es encontrar el número de términos para poder aplicar la fórmula....