Progresiones De Orden Superior

Esta Primera Lección, así, con mayúsculas, es una mera imitación de unos trabajos que mi amigo y compañero de fatigas (sin entrar en lo que significa eso de “fatigas”, cortitos incluidos) Antonio Crego , ha estado enviando a algún que otro amigo con el bondadoso y bienaventurado fin de paliar sus carencias, las del otro amigo, naturalmente.
Para esta primera lección me baso en un problema deapariencia sencilla. Este problema me lo planteó el Profesor Crego mientras estábamos tomando un “cortito” en el Fierabrás. Al volver a casa en el autobús, como llevaba un papel en el bolsillo hice unos cálculos y al llegar a casa le llamé y le di la solución, además de decirle que tenía la solución general. Con lo que me repitió su insigne, y ya clásica, frase de “¿ya sabes que me tienes hasta loscojones?”.
El problema es el siguiente:
Un tierno infante sale de su casa un domingo por la mañana. Resulta que ya no va a terminar su colección de cromos de futbol de la Liga, motivo por lo que ha decidido regalárselos a los amigos que se vaya encontrando en este paseo matutino. Ese reparto gratuito lo va a hacer dando a cada uno de los que encuentre la mitad más uno de los cromos que lleveconsigo en ese momento. La pregunta es, ¿con cuántos cromos salió de casa si, después de encontrarse con el sexto amigo, ya no tiene cromos y a todos les ha tratado según el sistema descrito más arriba?.

Veamos como lo resolví.
Pues muy sencillo, hice uso del viejo método de “la cuenta la vieja”:
¿Cuántos cromos tenía el tierno infante cuando se encontró al sexto y último amigo?.
Pues tenía 2.Es decir, que le dio 1 cromo (la mitad de los que llevaba) más otro cromo, con lo que le dio dos cromos y el ya se quedó sin cromos, con lo que se le acabó la ardua tarea que se había propuesto.
A continuación pongo una tabla con el proceso que acabamos de describir.

Amigo Cromos que tiene Cromos que le da Cromos que le quedan
6 2 2 0
5 6 4 2
4 14 8 6
3 30 16 14
2 62 32 30
1 126 64 62Es decir, que la solución del problema es que el TIERNO INFANTE salió de casa con 126 cromos.
Claro, que alguno puede decir que ¿cuántos cromos necesita para encontrarse con 125 amiguitos y repetir la maniobra anterior?.
Pues mis queridos quisques, ya habéis visto la marcha así que a coger papel, lápiz o boli y ¡hala!, a trabajar.
Y yo, que soy así de chulo, voy y, antes de que empecéis adevanaros los sesos (sin x), os digo que la cantidad buscada es 4,25353E+37. Bueno, es que Excel me ha dado eso, que en realidad es una aproximación porque el cacharro se vuelve loco con estas tonterías. Pero la tontería tiene como 38 dígitos.
Si os fijáis un poquito nada más, veréis que el tierno infante, cuando se encuentra con el primer amiguito, lleva 126 cromos, es decir, dos elevado a laséptima potencia más dos, y cuando se encuentra con el quinto amiguito lleva 6 cromos, es decir, dos elevado a la primera potencia más dos. Y que lo mismo ocurre para el resto de los amiguitos. Y que a cada uno le da una potencia de 2.
Resulta que al k-ésimo le da
2^(6-(k-1) )
cromos, y le quedan
2^(6-(k-1) )-2
Con lo que el tierno infante, cuando se encontró con el amigo k-ésimo llevaba en elbolsillo
2^(6-(k-1) )+2^(6-(k-1) )-2=2^(7-(k-1) )-2
¿Y si ahora son N el número de amigos y no 6?. La intuición nos dice que la “fórmula secreta” del número de cromos con los que el niño sale de casa podría ser
2^(N+1)-2
¿Será?. ¿No será?.
Apliquemos el principio que en nuestros tiempos de “tiernos infantes” se llamaba de INDUCCIÓN. Ya sabemos, eso de que si se cumple para N=1, N=2, N=3,…,malo será que no se cumpla para N y, desde luego, mucho peor será que no se cumpla para N+1.
Veamos. Para N amigos, tenemos que el tierno infante lleva
2^(N+1)-2
cromos. Si van a ser N+1 los amigos que se encuentra en su camino de despilfarro, entonces necesitará los
2^(N+1)-2
cromos que le deben quedar después de encontrarse al primer amigo más los
2^(N+1)
cromos que le va a dar a ese...