progresiones

 Progresiones aritméticas.
Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de infinitos números reales a 1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Cada uno de los números reales se llama término de la sucesión.
El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11, 13,... es una sucesión de números reales. Al término: 
an = 3 + 2(n-1) 
se le llama término general.
Sin embargo, no todas lassucesiones tienen término general. Por ejemplo, en la importante sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... no hay ninguna fórmula que exprese el término general.
Consideremos la sucesión de término general an = 3n + 2
an ; 5, 8, 11, 14, 17, 20,...
Observamos que cada término de la sucesión es igual que el anterior más 3. Se dice que la sucesión an es una progresiónaritmética y que d = 3 es la diferencia de la progresión.
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
En la progresión anterior a1 = 5, a2 = 8 y d = 8 - 5 = 3.
En ocasiones nos referimos a la progresión formada por los n primeros términos de la progresión; en estecaso se trata de una progresión aritmética limitada.
Son progresiones aritméticas:
Los múltiplos de 2 o números pares: 2, 4, 6, 8, 10... La diferencia es d = 2.
Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15... La diferencia es d = 3.
Los múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a, 5a... La diferencia es d = a.
 Término general.
Fijémonos en la progresión aritmética ilimitada a1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Según ladefinición, cada término es igual al anterior más la diferencia.
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d
Generalizando este proceso se obtiene el término general:
an = a1 + (n - 1) · d
Ejemplos:
El término general de la progresión aritmética 5, 8, 11, 14... es:
an = 5 + (n - 1) · 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2
El término general de una progresiónaritmética en la que a1 = 13 y d = 2 es:
an = 13 + (n - 1) · 2 = 13 + 2n - 2 = 2n + 11
Vamos a hallar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que a11 = 35 y d = 4.

Para ello escribimos a11 = a1 + (11 - 1) · 4, es decir, 35 = a1 + 40, de donde a1 = 35 - 40 = -5
Se puede conseguir otra expresión para el término general en función de otro término cualquiera, en lugar del primertérmino. Como an = a1 + (n - 1) · d   y   ak = a1 + (k - 1) · d, despejando a1 en ambas expresiones e igualando resulta: 
an = ak + (n - k) · d

Interpolación de términos.
Supongamos que queremos intercalar entre 2 y 14 tres números a, b y c de manera que 2, a, b, c, 14 estén en progresión aritmética.
Tenemos que a1 = 2, a5 = 14 y n = 5. Aplicando la expresión del término general de una progresiónaritmética, se tiene que:
a5 = a1 + 4d → 14 = 2 + 4d → d = 3
Por tanto, la progresión aritmética es: 2, 5, 8, 11, 14.
Este problema, que consiste en intercalar varios términos entre dos dados, se denomina interpolación. Los términos que hemos hallado se llaman medios aritméticos. 

Suma de n términos consecutivos.
Consideremos la progresión formada por los seis primeros múltiplosde 5:
an → 5, 10, 15, 20, 25, 30.
Observemos que la suma de los extremos es:
a1 + a6 = 5 + 30 = 35
y que los términos equidistantes suman lo mismo que los términos extremos:
a2 + a5 = 10 + 25 = 35
a3 + a4 = 15 + 20 = 35
En general, en una progresión aritmética limitada se verifica:
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
En una progresión aritmética limitada, la suma de los términosequidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.
Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula de la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética. Veámoslo primero con el ejemplo:
¿Cuál es la suma de los seis términos de la progresión 5, 10, 15, 20, 25, 30?
Una forma de hallar la suma de los términos de esta progresión es escribir la suma dos veces...