progresiones

PROGRESIONES ARITMETICAS Y PROGRESIONES GEOMETRICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS
Sucesiones
Si tenemos una fila de números, como por ejemplo:
1, 4, 9, 16, 25,…,
Nos preguntamos si podemos ver un patrón o relación que describa la formación de dicha fila de números.
Si escribimos esta fila como
12, 22, 33, 42, 52,…
Es claro entonces que éstos son los cuadrados de los números naturales en suorden. Tal fila de números, entonces, la podemos ver como una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y recorrido los números dados, así:
1 12 = 1
2 22 = 4
3 32 = 9
4 42 = 16
5 52 = 25

Cada número en la fila de números 12, 22, 32, 42, 52,… es llamado un término. Se puede escribir el n-ésimo término de esta lista utilizando la notación de función, es decir si sedenota la función por a, se tiene a (n) = n2, donde n es un numero natural. La fila de número es llamada una sucesión infinita.
Luego.
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

El recorrido de la función a es:
a(1), a (2),a (3),…
Es decir, indicamos una sucesión usando un subíndice en lugar de la notación tradicional de función. Se dice entoncesque a1 es el primer término como an. Para nuestro ejemplo:
a1=1 a2=4 a3=9 a4=16,…, en general, an = n2 para todo número natural.
Una sucesión finita es una función cuyo dominio es un subconjunto finito de los números naturales.
EJEMPLO:
A. Encontrar los términos de la sucesión cuyo n-ésimo término es an =2n
nE {1, 2, 3,4}.

Para encontrar a1 sustituimos n = 1 en la fórmula para an, así:a2= 2(2)=4; a3= 2(3)=6; y, a4= 2(4)=8
En este caso se tiene un ejemplo de una sucesión finita.

B. Escribir los cinco primeros términos de la sucesión infinita cuyo n-ésimo término es:
an = n
n+1
Solución:
Para encontrar a1, sustituimos n=1en la fórmula para an, así:
a1= 1 = 1
1 + 1 2

a2= 2 = 2 ; a3 = 3 = 3 ;a4 = 4 = 4 ; a5 = 5 = 5
2+1 3 3+1 4 4+1 5 5+1 6


c. escribir los cuatro primeros términos de la sucesión cuyo n-ésimo término es:nn
an = n – 1
n2
Solución:
Para encontrar a1 sustituimos n=1 en la fórmula para an, así:
a1 = 1 – 1 = 0 = 0
12 1
Similarmente:
a2 = 2 – 1 = 1; a3 = 3 – 1 = 2; a4 = 4 – 1 = 322 4 32 9 42 16
SUCESIONES ARITMETICAS
Se estudia ahora un tipo de sucesión. Considere la siguiente sucesión y trate de encontrar una relación entre sus términos.
2, 5, 8,11,…
Observe que el termino puede ser escrito como an =3n – 1. Pero hay otra forma mucho más simple de describir esta sucesión. Cada término excepto el primero puedeobtenerse del anterior sumándole 3:
a1 = 2; a2 = 2 + 3; a3 = a2 + 3,…


Una sucesión aritmética es una sucesión para la cual todo término, excepto el primero, se obtiene adicionándole al término anterior una constante.
Una sucesión aritmética es también llamada una progresión aritmética.
En una progresión aritmética existe un número d tal que:
an = an-1 + d, para todo n>1



El numero d esllamado la diferencia común.

Volviendo a nuestra sucesión:
2, 5, 8, 11,…
El n-ésimo término puede ser escrito como:
an = an-1 + 3, con a1 = 2

Esta es una progresión aritmética con primer término igual a 2 y diferencia común de 3. La fórmula an = an-1 + 3 dice que es una fórmula recursiva ya que el n-ésimo término se define con respecto el que le precede
Empezando con a1 = 2 la fórmulapuede ser usada recursivamente (repetidamente) para obtener a2, luego a3 luego a4 y así sucesivamente.
Ejemplo:
1. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas?
a. 5, 7, 9,11…
b. 4, 8, 11,13…
c. 3,-1,-5,-9...
d. 1, 1/3, 2, 1/5,…
Solución:
a. En la sucesión 5, 7, 9,11,.. cada termino se puede obtener del termino no anterior sumándole 2, es decir, que sí es una...