Progresiones

10. Progresiones
10.1 INTRODUCCIÓN Definición. Una sucesión de números es un conjunto ordenado de números formados de acuerdo con una ley dada. El requisito esencial para que exista una sucesión denúmeros es que exista una ley o fórmula con la cual sea posible obtener cualquier elemento de la sucesión. Por ejemplo, si un representa el enésimo término de una sucesión, entonces debe existir unaexpresión para un en términos de n, es decir, dicho término enésimo debe ser una función de n. Así, en el ejemplo dado anteriormente, un = 2n + 1, la cual es una fórmula que nos permite obtenercualquier término de la sucesión. Si una sucesión tiene un último término se le llama sucesión finita; en caso contrario, es decir, si el número de términos es ilimitado, se le llama sucesión infinita. Nota.La suma indicada de los términos de una sucesión recibe el nombre de serie; una serie puede ser finita o infinita según que la sucesión que la forma sea finita o infinita. Las series infinitas sonobjeto de estudio especial en los tratados de cálculo diferencial y también son de gran importancia en la Teoría de funciones. En los siguientes artículos estudiaremos tres tipos diferentes desucesiones finitas y un tipo de sucesión infinita. 10.2 PROGRESIÓN ARITMÉTICA Definición. Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de los términos posteriores al primero se obtieneañadiendo al término anterior un número fijo llamado la diferencia de la progresión. De acuerdo con la definición, una progresión aritmética puede escribirse en la forma (1) a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 +3d,…

en donde a1 se llama primer término y d es la diferencia. En general el enésimo término es: (2) an = a1 + ( n - 1) d

Ahora vamos a obtener una expresión para la suma sn, de los n primerostérminos de la sucesión (1), es decir, para la suma: (3) sn= a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (an - 2d) + (an – d) + an.

Escribiendo los términos del segundo miembro de (3) en orden inverso,...