Progresiones

Una progresión aritmética es una sucesión de números llamados términos, tales que dos números cualquiera consecutivos de la sucesión están separados por una misma cantidad llamada diferencia común.1,4, 7, 10 ... es una progresión aritmética cuya diferencia común es 3.

30, 25, 20, 15 ... es una progresión aritmética cuya diferencia común es —5.

Si se considera í, como el primer términode una progresión, d como la diferencia común y n el número de términos de la misma, se genera una progresión de la forma.

t 1 , t 1 + d, t 1 + 2d, t 1 + 3d . . ., t 1 + (n-2) d, t 1 + (n-1)dEl último término de una progresión será igual al primer término de la misma adicionado de(n— 1) diferencias

u =t1 + (n-1) d (1.11)

Es una serie de 3 términos puedeverse claramente esto:

t1,t1+d, t1+2d

El último término (t, + 2d) es igual al primer término (ti), adicionado de (n — 1) veces la diferencia común ya que n = 3, n — 1 =2 La suma de una progresiónaritmética puede escribirse como sigue:

S = t1+(t 1 + d) + (t1+2d) + . . . . . + (u - 2d) + (u-d) + u

pero también puede escribirse en forma inversa

s= u +(u-d)+(u-2d) + . . . + (t 1 +2d) + (t 1 + d) + t1

Si se suman las dos expresiones término a término se tiene:

2 S= (t1+u) + (t1+u) + (t1+u) + …..+ (t1+u) + (t1+u)
2 S= n(t1+u)
S= n/2 (t1+u)(1.12)

Así, la suma de una progresión aritmética de n términos es igual a la suma del primero y el último término multiplicado por n y dividido entre dos.

Substituyendo (1.11) en (1.12)

S=n/2[t1+(t1+ (n-1) d) ]

Simplificando: S= n/2 [2 t1 + (n-1) d]

Ejemplo 1.7.1 Determine el 10o. término y la suma de la siguiente progresión aritmética: 3, 7, 1 1 ,

. . . Solución:
a) Sedetermina el último término aplicando (1.9) y considerando t-¡ - 3 n = 1 0 y d - 4:
u = t 1 + ( n - 1 ) d
u = 3 + (10 - 1) 4
u = 3 + 36
u = 39

b) para determinar la suma se aplica la...