Progresiones

Las progresiones geométricas

Si el número 5 se multiplica sucesivamente por 3 queda la siguiente serie:

5, 15, 45, 135, 405, 1215

Que se llama progresión geométrica.

Otra progresión geométrica sería la serie:

3072, 768, 192, 48, 12

Puesto que cada término se obtiene multiplicándole anterior por el mismo numero, (¼).

En toda progresión geométrica el cuociente entredos términos consecutivos es constante.

Entonces: Una progresión geométrica en una serie de números, tales que el cuociente entre dos términos consecutivos es CONSTANTE.

El cuociente constante entre dos términos consecutivos de una progresión geométrica llamado razón de la progresión se calcula dividiendo un término por el anterior. Puede ser mayor o menor que la unidad; en el primer caso laprogresión es creciente y en el segundo es decreciente.

Ejemplos:

1) La primera progresión: 5, 15, 45, 135, 405, 1215 Es Creciente (Razón=3)

2) La segunda progresión 3072, 768, 192, 48, 12 Es Decreciente (Razón=1/4)

Propiedades de las Progresiones geométricas

1) Valor de cada término de una progresión geométrica

Según la definición, cadatérmino de una progresión geométrica, es igual al producto del anterior por la razón, o al cuociente del que sigue la razón.

Sean A, B, C, tres términos consecutivos de una progresión geométrica, cuya razón designaremos por Q.

Se tiene:
B = AQ

Y también:B=

Multiplicando estas igualdades tenemos que:

= AC

De donde B =

Luego, cada término de una progresión geométrica es la media proporcional geométrica es la media proporcional geométrica entre el término anterior y el siguiente.

Ejemplo

8[pic]2=16 = X[pic]X=4

Entonces, se cumple que en la progresión geométrica 2, X, 8,…. se cumple que x=4 es la media proporcional geométrica entre el termino anterior y el siguiente.

2) Termino general

Para la representación general de un progresión geométrica designaremos por a el primer termino, por q la razón y por n el numero de términos.
Como consecuencia inmediata dela definición el segundo termino es igual al producto del primero por la razón; el tercero, al producto del primer termino por la segunda potencia de la razón; el cuarto, al producto del primer termino por la tercera potencia de la razón, y así sucesivamente. En general, un termino cualquiera de una progresión geométrica es igual al primer termino multiplicado por una potencia de la razón cuyoexponente es el numero de términos que hay antes de el. La expresión general de la progresión es entonces:

El termino que ocupa el lugar n y que se designa por u, es:

De esta relación fundamental resultan la siguiente formula, que sirve para calcular la cantidad despejada:

3) Productos de dos términos equidistantes de los extremos

Sea la progresión:

De donde:

En general,sean j y k, dos términos de modo que antes de j hay n términos y después de k otros n términos. Entonces se tiene:

Luego, el producto de los términos equidistantes de los extremos de una progresión geométrica es igual al producto de los extremos.

Corolario: Si el número de términos de la progresión es impar, el término del medio es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. Enefecto, sea t un término precedido de n términos y seguido de otros n términos.

Resulta:

4) Suma de los términos

Sea S la suma de los términos, de modo que:

Multiplicando los dos miembros por q, se tiene:

Restando la primera igualdad de la segunda, resulta:

Esta formula es aplicable para una progresión creciente. Si la progresión es decreciente, q-1 es negativo....