progresionesylogaritmos 1

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Prueba de Aptitud Académica. HabilidadNumérica. Guía # 4.
 
Sucesiones
 
Una sucesión es un conjunto (o colección) infinito(a) de términos, denominados a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, an+1,..., . Las sucesiones que se estudian siguen por lo general una regla de formación.
 
Problema: Hallar los primeros 4 términos de la sucesión { an }, donde an = 3n2.
 
Solución: a1 = 3 x 12 = 3 a2 = 3 x 22 = 12 a3 = 3 x 32 = 27 a4 = 3 x 42 = 48
 
Losprimeros 4 términos de la sucesión son: 3,12, 27, 48.
 
Problema: Halle a10 , a5.
 
Solución: a10 = 3 x 102 = 300 a5 = 3 x 52 = 75
 
Problema: Dada la sucesión {an }, en donde an = n/(n + 1), halle a1 , a2 , a3 , a4, a20, a250.
 
Solución: a1 = 1 / (1+1), a2 = 2/(2+1), a3 = 3/(3+1), a4 = 4/(4+1), a20 = 20/(20+1),
a250 = 250/(250+1). Por lo tanto:
 
a1 = 1/2 a2 = 2/3 a3 = 3/4 a4 = 4/5 a20 =20/(21) a250 = 250/(251).
 
Un problema que se plantea comunmente es:
 
Problema: Dada la sucesión
 
a1 = 1/2 a2 = 1/4 a3 = 1/8 a4 = 1/16 a5 = 1/ 32 .....
 
Halle la expresión general ( o término general ) an.
 
Solución: a1 = 1/2 a2 = 1/ 2 2 a3 = 1/2 3 a4 = 1/24 a5 = 1 x 25 a20 = 1/ 220

Luego : an = 1/ 2 n.
 


Problema: Halle el término general de lasucesión
 
1, 3, 4, 7, 11, 18
 
Notese que a1 = 1, a2 = 3. Para calcular los siguientes términos, observe que a partir del tercero, cada término es la suma de los dos anteriores.
 
En consecuencia an = an-1 + an-2, para n ³ 3.
 
Problema: Cuál es el término general de la sucesión
 
-1, 2, 7, 14, 23
 
Solución: Estudiemos las diferencias entre cada dos términos así
5 9

-1, 2, 7, 14,23
 
3                                         7
De donde concluimos que a1 = -1 y an = n2 – 2
 
Progresiones
 
Una progresión aritmética es una sucesión en donde la diferencia de cada término con el anterior es una constante r, denominada la razón. Es decir, los términos de la sucesión son:
 
a1 a1 + r a1 + 2r a1 + 3r…
 
Es decir: an = an-1 + r.
Vemos que en una progresión aritmética:an = a1 + (n-1) r.
Suma de los primeros n términos de una progresión aritmética
La suma Sn de los primeros n términos de una progresión aritmética está dada por:
Sn = ((a1 + an )/2).n
 
Problema: En una progresión aritmética, el primer término es 2 y la razón 1/2.
 
Solucion: El valor del cuarto término es :
 
a4 = a1 + (n-1) r.
 
Luego: a4 = a2 + (4 -1) (1/2) = 2 + 3 x ½ = 7/2
 Problema: Calcular la suma de los 20 primeros números pares.
 
Solución: La suma de los 20 primeros números pares
(2 + 4 + 6 + ...+ 38 + 40)
 
Sn = ((a1 + an )/2). n = ((2 + 40) 20)/2 = 840/2 = 420
 
Problema: Si el primer término de una progresión aritmética es 12, el último es 18 y la suma de sus términos es 75, calcular el número de términos de la progresión.
 
Solución: a1 = 12, an = 18, Sn = 75,Sn = (a1 + an )n/2
 
Luego: 75 = (12 + 18) n/2 \ 75 = 30n /2 \ 75 = 15n\n = 5
 
Progresión geométrica
 
Es una sucesión en la cual la r no suma sino que multiplica. La fórmula an = an-1 + r, se transforma en
an = r an-1,
 
derivando en la fórmula
 
an = a1 r n-1.

En este caso, la suma de los primeros n términos está dada por
 
Sn = a1 ((1 - r n )/(1-r))
 
Problema: Hallar el cuarto términode la progresión geométrica 7, 14, 28, ...
Solución: r = 2, luego a4 = a1 r n-1\ a4 = 7 x 23 = 56.
 
Problema: Hallar el primer término de una progresión geométrica, si el tercer término es 10 –3 y la razón es 10-1.
 
Solución: an = a1 r n-1 \ a1 = an / r n-1 \ a1 = a3 /r n-1 = 10 -3 /(10-1) 3-1
 
Luego a1 = 10 -3 /(10 –1)2 \ a1 = 10-3/10 –2 = 10 -3 102 = 10 –1
 
Problema: Si en una...