Propagacion De Errores

Propagación de errores
Cuando se resuelve un problema matemático por métodos numéricos y aunque las operaciones se lleven a cabo exactamente, obtenemos una aproximación numérica del resultadoexacto. Es importante tratar de conocer el efecto que sobre el resultado final del problema tiene cada una de las operaciones realizadas.
Para estudiar como se propaga en error, veamos cual es el efectoque cada una de las operaciones básicas tiene sobre el error final cuando se aplican sobre dos números y :
| = | | (10) |
| = | | (11) |
| = | | (12) |
| = | | (13) |

Cuando elproblema consiste en calcular el resultado y = f(x)tenemos la siguiente fórmula aproximada de propagación del error:
| (14) |

En el caso más general, en que una función depende de más de unavariable ( ), la fórmula aproximada de propagación del error maximal es:

  | (15) |

Ejemplo 3: Determinar el error máximo cometido en el cálculo y = x1 x22 para y .
Solución: El error cometido,de acuerdo con la ecuación (15), se puede calcular mediante:

Sustituyendo valores, obtenemos:

Por lo que el resultado final se debe expresar como:

Ejemplo 4: Sea el siguiente sistema deecuaciones lineales:

en donde ; b = 1 / a y d = b - a¿Con qué exactitud podemos determinar el producto xy?
Solución: Primero resolveremos el sistema de ecuaciones por reducción:

Ecuaciones queconducen a la siguiente expresión para el producto:
  | (16) |

Resolveremos ahora el problema por dos métodos. Primero, calcularemos el error asociado a cada una de las variables y los términosde la expresión anterior:

Sustituyendo valores, obtenemos el siguiente resultado:

Una forma mucho más adecuada de resolver este problema consiste en sustituir en la expresión (16) los valoresde b y d por sus correspondientes expresiones en función de a. Sustituyendo y operando, obtenemos que el producto y el error asociado vienen dados por:

que, sustituyendo valores, conduce al...