Propiedad De Darboux

Propiedad de Darboux.
Si una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en (a, b) tal que f(c) = k.
[pic]

Siobservamos el dibujo podemos definir la propiedad de Darboux de este otro modo:
Si una función es continua en el intervalo [a, b] la función alcanza en este intervalo todos los valores comprendidosentre f(a) y f(b).

Probar que la función f(x) = x(sen x +1) toma el valor 2.
La función es continua en toda [pic]por ser el producto de dos funciones continuas.
Tomamos el intervalo [pic]yestudiamos el valor de las imágenes de los extremos:
[pic]
[pic]
Por tanto existe un c [pic][pic]tal que f(c) = 2.







Teorema de Weierstrass
Si una función f(x) está definida y es continua enun intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b].
Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a, b] donde falcanza valores extremos absolutos:
[pic]
[pic]

El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen.

[pic]es continua en el intervalo [−1, 4][pic]
[pic]




Teorema de Bolzano
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un c [pic](a, b) tal quef(c) = 0.
[pic]

Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1].
Consideramos la función f(x) = x3 + x − 1, que es continua en [0,1] por serpolinómica. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:
f(0) = −1 < 0
f(1) = 1 > 0
Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un c [pic](0. 1) tal que f(c) = 0.Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.


Continuidad en un intervalo cerrado

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:

f es continua en x, para...