Propiedad de los determinantes(Álgebra lineal)


Introducción

En este trabajo que presentare continuación, se verá un resumen de las propiedades de los determinantes previamente estudiadas en el salón de clases y posteriormente aplicadas enprácticas y un examen.
El conocimiento de las propiedades de los determinantes nos permiten, por ejemplo, simplificar el cálculo de determinantes de para calcular el determinante de una matriz deorden 4 es necesario calcular  4  determinantes de orden  3. Y si la matriz fuera de orden  5, habría que calcular  20  determinantes de orden  3  (puesto que al desarrollarlo por los adjuntos de una filao columna cualquiera se obtendrían  5 determinantes de orden  4  y, cada uno de éstos, a su vez, se puede descomponer en  4  determinantes de orden  3).

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
 
Losdeterminantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos que  A  es una matriz cuadrada.
 
Propiedad 1.
 
 
Si unamatriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.
 
 
 
Ejemplo 1.
 
            Sea  
 
Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene
                       
 Ejemplo 2


Propiedad 2.
 
 
El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A.
 
 
 Esto es
                                                 
 Ejemplo 1.
 
                      Sea       
 
La transpuesta de A  es          
 
 Ejemplo 2



Propiedad 3.
 
 
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entoncesel determinante cambia de signo.
 
 
Ejemplo 1.
 
Sea            con      
 
Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda
 
           con     
 
Note que los determinantes secalcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.

 Ejemplo 2




Propiedad 4.
 
 
Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas) iguales  entonces   det A =...