Propiedades algebraicas de los enteros

PROPIEDADES ALGEBRAICAS
DE LOS ENTEROS
El conjunto Z = {….-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…} de los enteros puede construirse a partir del conjunto N = {1, 2,3,….} de los naturales, de modo queel conjunto de los enteros positivos quede identificado con N. Resulta entonces N Z.
Pero también el conjunto de Z puede ser introducido axiomáticamente. Una posible teoría axiomática(de la que aquí daremos solo una idea) establece que los enteros deben satisfacer por lo pronto las siguientes condiciones (axiomas algebraicos), cualesquiera sean los enteros a, b,c,considerados:
AXIOMA I Operaciones. Existe una operación llamada suma, y otra operación llamada producto, (que se indican respectivamente con los signos + y . ), tales que la suma a+b essiempre un entero ( único) y el producto a.b es siempre un entero (único ).
AXIOMA II Existencia de elementos neutros. Existe un entero llamado 0 (cero) y un entero llamado 1 (uno), talesque:
a+0=a a.1=a 10
AXIOMA III Propiedad conmutativa de la suma y del producto:
a+b=b+a ab=ba
AXIOMA IV Propiedad asociativa de la suma y del producto:
a+(b+c)=(a+b)+ca(bc)=(ab)c
(se puede entonces escribir a+b+c, o abc, sin necesidad de paréntesis, ya que no hay posibilidad de confusiones).
Axioma V Propiedad distributiva del producto respecto a la suma(propiedad de “factor común”):
a(b+c)=ab+ac
AXIOMA VI Existencia del opuesto. Para cada entero existe a y se indica con –a, tal que
a+(-a)=0
AXIOMA VII Simplificación en el producto.
Sic0 y ca=cb, entonces a=b.
A partir de estos axiomas se pueden demostrar teoremas como los siguientes:
TEOREMA I Simplificación en la suma. Cualesquiera sean los enteros a, b, c, seobtiene:
a+b=a+c b=c
Demostración. En efecto, sumando –a a ambos miembros de a+b=c+a , se obtiene:
-a+(a+b)=-a+(a+c)
es decir (-a+a)+b=(-a+a)+c
o sea 0+b=0+c
de donde b=c