Propiedades Analítica De Las Cónicas

1

DEFINICIÓN ANALÍTICA: Es el conjunto de puntos del plano que verifican una ecuación del tipo Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 con A2+B2+C20

Dadas la recta r) ax+by+c=0 y la cónica C ) Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 hallar la intersección de r y C significa hallar los valores de (x,y) que verifican simultáneamente ambas ecuaciones , o sea hallar la solución del sistema formado por las ecuaciones de r y de C. Para resolverlo se despeja una de las incógnitas de la ecuación de la recta y se sustituye en la ecuación de la cónica  si a 0 se puede despejar x (si a0 se despeja y, y se trabaja análogamente)

 (Ab  Bab  Ca )y  (2Abc  Bac  Dab  Ea )y  Ac  Dac  Fa  0
la solución de esta ecuación nos da las ordenadas de los puntos de intersección. El tipo de ecuación dependerá, en un comienzo,del coeficiente de y2 : Si Ab2Bab+Ca20  la ecuación es de grado 2 por lo que puede tener dos soluciones, una o ninguna y por lo tanto la recta puede ser secante, tangente o exterior. Definimos entonces recta a la que al resolver el sistema se obtiene una ecuación de grado 2 con dos raíces reales distintas. La recta será TANGENTE A LA CÓNICA si la ecuación obtenida es de grado 2 con raíz doble.Y la recta será EXTERIOR A LA CÓNICA si la ecuación de grado 2 que se obtiene no tiene raíces reales. Si Ab2Bab+Ca20  la ecuación anterior no es de grado 2 y puede ser o no de grado 1 :  Si el coeficiente de grado 1 es distinto de cero, la ecuación tiene solución única, pero no es doble por lo tanto la recta no es tangente a la cónica .  Si el coeficiente de grado 1 es cero, la ecuación notiene solución o tiene infinitas soluciones. En el primer caso la recta no corta a la cónica, pero no es exterior (ya que no se resolvió una ecuación de segundo grado) se define como ASÍNTOTA DE LA CÓNICA. En el segundo caso la cónica sería un producto de rectas. EJEMPLOS 1)Hallar la intersección de la recta r) x + 3y = 0 y la cónica (C): xy + y2 + y + 1 = 0 La recta es secante con la cónica y lospuntos de intersección son 3 P(3,1), Q( 2 , 1 ) 2

2

2

2

2

2

2

2)Idem con la recta r)x+y10 y la cónica (C) 2x2+xyy22x+y0
PROF AYCER MENONI LICEO BAUZA 6°INGENIERIA REP. TEÓRICO PRÁCTICO CÓNICAS 2012

2

La recta es parte de la cónica ya que la cónica es un producto de dos rectas

: Dada la cónica C) de ecuación Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 y un punto P(a ,b )C  Aa²+Bab+Cb²+Da +Eb +F0 Una recta que pase por P tiene ecuación de la forma mx+ y ma b 0 , hallaremos el valor de m para que la recta sea tangente a la cónica. Para ello al resolver el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la cónica la solución deberá ser doble de acuerdo a lo anterior. Pero además esa solución doble deberá ser alguna de las coordenadas de P (según que la ecuación de grado2 sea en x ó en y)

Esta ecuación en x debe tener raíz doble a (abscisa del punto P). (La raíz doble da la ecuación fx2+ex+c=0 es e ) 2f



m

2Aa  Bb  D Ba  2Cb  E

La ecuación de la tangente será:

Realizando operaciones: Bay+2Cby+EyBab2Cb²Eb+2Aax+Bbx+Dx2Aa²BabDa  0 2Aax+B(ay+bx)+2Cby+Dx+EyDaEb2(Aa²+Bab+Cb²)  0 La expresión entre paréntesis es igual a DaEbF porser P un punto de C 2Aax+B(ay+bx)+2Cby+Dx+EyDaEb+2Da+2Eb+2F0  2Aax+B(ay+bx)+2Cby+D(x+a)+E(y+b)+2F 0 
PROF AYCER MENONI LICEO BAUZA 6°INGENIERIA REP. TEÓRICO PRÁCTICO CÓNICAS 2012

2Aa  Bb  D (x  a)  y  b  0 Ba  2Cb  E

3

La ecuación de la tangente en P(a,b) a la cónica es:

ay  bx x a yb Aax  B( )  Cby  D( )  E( )F 0 2 2 2

Esta ecuación se obtiene directamentede la ecuación de la cónica cambiando: x² por ax , ay  bx yb x a y² por by xy por , x por , y por 2 2 2 EJEMPLO Hallar la ecuación de la tangente en A(1,3) a la cónica (C) x2 2x + y = 0 Primero verificamos que el punto pertenece a la cónica Entonces podemos aplicar la fórmula anterior
y 3 y 3  Se cambia: x2 por x , x por x2 1 , y por 2
 x2( x2 1 )+ 2 0 de donde resulta la...