Propiedades de Conjuntos

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
Sean los conjuntos A,B,C dentro del universo U . Las seis propiedades que rigen las operaciones con esos conjuntos son las siguientes:
1. Propiedades de identidad:A∪φ= A A∪U =U A∩U = A A∩φ=φ
2. Propiedades de idempotencia:
A∪ A = A A∩ A = A
3. Propiedades de complemento:
A ∪ A' = U A ∩ A' = φ
4. Propiedades asociativas:
(A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
5.Propiedades conmutativas
A∪ B = B ∪ A A∩ B = B ∩ A
6. Propiedades distributivas
A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
LEYES DE D’MORGAN
Estas leyes establecen los complementosde la unión e intersección entre conjuntos:
Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.
(A∪B)'= A'∩B'
(A∪B)' A'∩B'
=

U
AB
U
A
BEn el diagrama de la izquierda, A ∪ B viene dada por la región en blanco y (A ∪ B)' está representado
por el área sombreada verticalmente. Por su parte en el diagrama de la derecha, A' es la regiónsombreada horizontalmente, B' es el área sombreada verticalmente, por lo que A'∩B' está representado por la superficie cuadriculada. Las regiones resultantes son iguales.
Segunda ley. El complementode la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos: (A∩B)'= A'∪B'
(A∩B)' A'∪B' =

En el diagrama de la izquierda, A∩B está dada por la región sombreada horizontalmente y (A∩B)'está representado por el área sombreada verticalmente. Por su parte, en el diagrama de la derecha, A' es la región sombreada horizontalmente, B' es el área sombreada verticalmente, por lo que A'∪B' estárepresentado por la superficie que no es blanca. Las regiones resultantes son iguales.
Ejemplo.
Dados los siguientes conjuntos:
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }
A = {1,3,4,7,9, 11}
B ={1,2,5,7, 9,11,12 } Comprobar las leyes de D’Morgan:
Solución.
A ∪ B = {1,2,3,4,5,7,9,11,12 } A ∩ B = {1,7,9,11}
A' = {2,5,6,8,10,12 }
B' = {3,4,6,8,10 }
(A∪B)'={6,8,10} _(1) A'∩B' = {6,8,10 }...