Propiedades De Eat

Matriz de transición de estados

Definición

Sea la ecuación de estado homogénea
1. x˙ = Ax
Se propone como solución de (1) a la ecuación
2. x (t) = Φ(t)x (0)
Donde Φ ∈ Rn×n y es la única soluciónde
˙
= AΦ(t),
2.3 Φ(t)

Φ(0) = I

Demostración

Para verificar que es una solución, se tiene que
4. x (0) = Φ(0)x (0) = Ix (0) = x (0)
˙ (0) = AΦ(t)x (0) = Ax (t).
5. x˙ (t) = Φx

La matriz detransición y la matriz exponencial

Para el caso invariante en el tiempo
6. Φ(t) = e At
La matriz Φ(t) se llama matriz de transición de estado.
Φ(t) contiene toda la información sobre el movimiento
libredel sistema.
Movimiento libre se refiere a no usar la entrada.

La matriz de transición y los valores propios
Si la matriz A tiene valores propios distintos λ1 , λ2 , . . . , λn
Entonces Φ(t) contendrálas n exponenciales
7. e λ1 t , e λ2 t , . . . , e λn t

En particular, si A tiene la forma




λ1
λ2



8. A = 



..

.
λn







Entonces




e λ1 t



9. Φ(t) = 



e λ2 t
...
e λn t







Propiedades de la matriz de transición de estados

1.
2.
3.
4.
5.

Φ(0) = I
[Φ(t)]−1 = Φ(−t)
Φ(t1 + t2 ) = Φ(t1 )Φ(t2 ) = Φ(t2 )Φ(t1 )
[Φ(t)]n = Φ(nt)
Φ(t2 − t1 )Φ(t1 − t0 ) =Φ(t2 − t0 ) = Φ(t1 − t0 )Φ(t2 − t1 )

Ejemplo

Obtenga la matriz de transición de estados y su inversa del
sistema
10. x˙ =

0
1
x
−2 −3

Ejemplo: Solución

La matriz de transición se obtiene mediante11. Φ(t) = e At = L−1 (sI − A)−1
Entonces
12. sI − A =

s 0
0
1
−
0 s
−2 −3

13. sI − A =

s −1
2 s +3

Ejemplo: Solución (2)
La inversa se calcula como
14. (sI − A)−1 =

adj(sI−A)
|sI−A|

15. adj(sI− A) = cof (sI −

A)T

16. (sI − A)−1 =

1
s 2 +3s+2

s +3 1
−2 s

17. (sI − A)−1 =

1
(s+1)(s+2)

18. (sI − A)−1 =

s+3
(s+1)(s+2)
−2
(s+1)(s+2)

=

s + 3 −2
1
s

s +3 1
−2 s
1
(s+1)(s+2)
s(s+1)(s+2)

T

=

s +3 1
−2 s

Ejemplo: Solución (3)

Usando la anti-transformada de Laplace


19. Φ(t) = 

L−1
L−1

s+3
(s+1)(s+2)
−2
(s+1)(s+2)

L−1
L−1

1
(s+1)(s+2)
s
(s+1)(s+2)




Ejemplo:...