propiedades de funciones principales
Propiedades de funciones
PROPIEDADES FUNCIONES PRINCIPALES
1.- FUNCIÓN EXPONENCIAL
Sea a un número real positivo no nulo distinto de 1. Se llama función exponencial real de base
a, a la función:
f:
R
x
−→
−→
R
f (x) = ax
Propiedades:
a) a0 = 1
b) a1 = a
c) La función exponencial es siempre positiva.
d) La función exponencial es siempre estrictamentecreciente o decreciente, según el valor de
a.
• Si 0 < a < 1 la función es estrictamente decreciente.
• S a > 1 la función es estrictamente creciente.
e) Si 0 < a < 1:
•
•
l´ ax = +∞
ım
x→−∞
l´ ax = 0
ım
x→+∞
f) Si a > 1:
•
•
l´ ax = 0
ım
x→−∞
l´ ax = +∞
ım
x→+∞
De estos dos últimos apartados se deduce que la función exponencial no está acotadasuperiormente pero si inferiormente por 0.
g) La función exponencial es continua en todo R.
La representación gráfica de 2x y
1
2
x
nos permite ver las dos posibilidades.
Figura 1: Representación gráfica de la función f (x) = 2x
2o de Bachillerato
Propiedades de funciones
Figura 2: Representación gráfica de la función f (x) =
1
2
x
2.- FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Sea a un númeroreal positivo no nulo distinto de 1. Se llama función logarítmica real en base
a, a la función:
f:
R
x
−→
−→
R
f (x) = loga x
Propiedades:
a) loga 1 = 0
b) loga a = 1
c) Si 0 < a < 1 tenemos:
• loga x > 0
• loga x < 0
si x < 1
si x > 1
d) Si a > 1 tenemos:
• loga x < 0
• loga x > 0
si x < 1
si x > 1
e) Si 0 < a < 1 la función es estrictamente decreciente.
f) Sia > 1 la función es estrictamente creciente.
g) La función logarítmica siempre es continua.
h) La función logarítmica no está acotada ni inferior ni superiormente.
i) Si 0 < a < 1:
• l´ loga x = +∞
ım
x→0+
•
l´ loga x = −∞
ım
x→+∞
j) Si a > 1:
• l´ loga x = −∞
ım
x→0+
•
l´ loga x = +∞
ım
x→+∞
2o de Bachillerato
Propiedades de funciones
La representacióngráfica de log2 x y log 1 x nos permite ver las dos posibilidades.
2
Figura 3: Representación gráfica de la función f (x) = log2 x
Figura 4: Representación gráfica de la función f (x) = log 1 x
2
3.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
- FUNCIÓN SENO
Se llama función seno a la aplicación f definida por,
f:
R
x
−→
−→
R
f (x) = senx
es decir, la función que asocia a cada número real xel seno del ángulo cuya medida en
radianes es x.
Propiedades:
a) El dominio de la función seno es R.
b) El recorrido de la función seno es [−1, 1], ya que el valor máximo que puede tomar el
seno es 1 y el mínimo es -1.
2o de Bachillerato
Propiedades de funciones
c) La función seno es periódica y su periodo es 2π . En efecto, si x’ es un número real
podemos expresarlo como x = x +2kπ, k ∈ Z, x ∈ [0, 2π ).
Por tanto, para estudiar el comportamiento de la función basta hacerlo en el intervalo
[0, 2π ).
d) La función seno es positiva en el intervalo (0, π ) y negativa en (π, 2π ).
e) La función seno se anula en los puntos x = kπ, k ∈ Z.
f) La función seno es continua en todo R.
π
3π
g) La función seno es estrictamente creciente en 0,
∪
, 2π .
2
2
π 3π
.
h) Lafunción seno es estrictamente decreciente en
,
22
π
3π
i) La función seno presenta un máximo en x = y un mínimo en
2
2
- FUNCIÓN COSENO
Se llama función coseno a la aplicación f definida por,
f:
R
x
−→
−→
R
f (x) = cosx
es decir, la función que asocia a cada número real x el coseno del ángulo cuya medida en
radianes es x.
Propiedades:
a) El dominio de la función coseno esR.
b) El recorrido de la función coseno es [−1, 1], ya que el valor máximo que puede tomar
el coseno es 1 y el mínimo es -1.
c) La función coseno es periódica y su periodo es 2π . En efecto, si x’ es un número real
podemos expresarlo como x = x + 2kπ, k ∈ Z, x ∈ [0, 2π ).
Por tanto, para estudiar el comportamiento de la función basta hacerlo en el intervalo
[0, 2π ).
3π
π 3π
π
∪
, 2π...
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