Propiedades de la función logarítmica

Definición analítica

Artículo principal: Logaritmo natural

En la imagen se puede ver la representación gráfica del logaritmo neperiano, como también la representación de las rectas tangentes ala función en x = e (Te) y en x = 1 (T1).
Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva de otra función analítica bien conocida. Paradefinir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas observaciones:
La derivada de la función es . Al dividir ambos lados de la expresión entre "n" y observar el resultado, se puede afirmar que unaprimitiva de es (con ).
Este cálculo obviamente no es válido cuando m = − 1, porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa es la única función "potencia" que no tiene unaprimitiva "potencia".
Sin embargo, la función es continua sobre el rango lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre .
A la función analítica cuyaexistencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos convencionalmente como:

Propiedades de la función logarítmica
El dominio de la función definidaanteriormente es el conjunto de los números reales positivos.
ln(x) es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.
Tiene límites infinitos en y en .
La tangente Te que pasa porel punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.
La tangente T1 que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: y = x − 1.
La derivada de segundo orden es ,siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "r", es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T1 y Te.La función logaritmo neperiano es la inversa de la función exponencial: .
Propiedades generales

Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales, ya que cualquiera sea u, es...