Propiedades De La Serie De Fourier

Propiedades de la serie de Fourier, explicación teórica, comprobación y aplicaciones.
María Paula Claro Vargas
Margarita Portillo Castro
María Clara Becerra

Universidad de San Buenaventura
Bogotá D.C

Abstract-- Fourier series has long provided one of the principal methods of analysis for m mathematical physics, engineering, and signal processing. It has spurred generalizations andapplications that continue to develop right up to the present. While the original theory of Fourier series applies to periodic functions occurring in wave motion, such as with light and sound, its generalizations and properties are often relate to wider settings, such as the time-frequency analysis.

I. RESUMEN
Las series de Fourier han proporcionado por mucho tiempo uno de los principalesmétodos de análisis de señales en el ámbito de la ingeniería. Esto ha estimulado cantidades de aplicaciones que siguen desarrollándose hoy en día. La teoría original de las series de Fourier se aplica a funciones periódicas que ocurren en movimientos ondulatorios, como lo son la luz y el sonido, pero sus generalizaciones y propiedades a menudo se relacionan con conceptos más complejos.
II.INTRODUCCIÓN
Con respecto al tema de las propiedades y las aplicaciones de las series de Fourier, se realizará un artículo científico donde se desarrollaran y ejemplificaran dichas propiedades de las series de Fourier con la finalidad de entender las aplicaciones que pueden conllevar al complemento de teorías prexistentes y las posibles patentadas en relación al análisis de señales y sistemas, conénfasis en la ingeniería de sonido.
III. MARCO TEÓRICO

A. ¿Qué es la serie de Fourier?
La serie de Fourier es una herramienta empleada a la hora de analizar funciones periódicas; el análisis de dichas funciones se lleva a cabo mediante la descomposición de las mismas en varias señales senoidales que son múltiplos de una frecuencia fundamental. En este orden de ideas, lo que nos dice elconcepto de Series de Fourier es que es posible constituir cualquier señal periódica mediante la suma de senos y cosenos.

Fig.1. Serie de Fourier expresada como una suma de senos y cosenos que son múltiplos de una frecuencia fundamental [1].
IV. DESARROLLO DE CONTENIDOS

A. Propiedades de la serie de Fourier.
Si representamos un coeficiente de la serie de Fourier como a[k] y tenemos unafunción x(t), entonces, x(t) puede representarse como:

Fig. 2. x(t) representado como la sumatoria de coeficientes. [2].
Y a[k] se representa entonces, como:

Fig. 3. Representación de los coeficientes de Fourier [2].
De lo dicho anteriormente de deduce que a[k] y x(t) son un par transformado, es decir, que x(t), se convierte en a[k] una vez se le ha aplicado la serie de Fourier.

Fig.4. Par transformado [2].
1. Propiedad de la Linealidad:
Como generalidad, en un sistema lineal, cuando dos señales sumadas entran en él, el resultado es igual a la suma de las dos señales de salida; es decir, si se tiene un sistema A en el cual se introduce C+B, a la salida del sistema, se obtiene Cs +Bs.
Entonces, en este orden de ideas si “f y g son dos funciones periódicas con coeficientesde Fourier f(n) y g(n). Sean a y b números complejos. Entonces los coeficientes de Fourier de af y bg son” [3].

Fig. 5. Propiedad de la linealidad para cualquier número entero n [3].
2. Propiedad de la conjugación:
Como generalidad, esta propiedad establece que el conjugado de un número complejo se obtiene variando el signo de su componente imaginaría, por ende, cuando hablamos de la seria deFourier, se tiene que:
Entonces, si f es una funcion periódica cuyo coeficiente de Fourier es f(n), entonces los coeficientes de Fourier de la función conjugada son [3]:

Fig.6. Coeficientes conjugados de la serie de Fourier [3].
3. Propiedad de traslación o desplazamiento en frecuencia:
Esta propiedad se lleva a cabo cuando se mueve una función hacia la derecha o izquierda, puesto que...