propiedades de las desigualdades

De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades conincógnita negativa.
1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro
Efectivamente si en la desigualdad se designa por "c" lo que falta a "b" para ser iguala "a", se tiene:
Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente

Ejemplos:Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar untérmino de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros. Ejemplo:


2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplicansus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.
Sea la desigualdad, es decir,
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un númeropositivo "m", resulta:

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de estapropiedad
Ejemplos:





3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.
Sea ladesigualdad, es decir,
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

Si -n es recíproco deun número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.
Ejemplos:





Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que...