Propiedades de las desigualdades

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1.-Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varia.
Asi dada la desigualdad a > b podemos escribir:
a + c > b + c y a – c > b – c
Consecuencia
Un termino cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.
2.- si los dos miembros de unadesigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva , el sino de la desigualdad no varia.
Así dada la desigualdad a > b siendo c una cantidad positiva, podemos escribir:
Ac > bc y a / c > b / c
Consecuencia
Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad sin que varíe el signo de la desigualdad
3.- si los dos miembros de una desigualdad se multiplican odividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varia.
Asi en la desigualdad a > b multiplicamos ambos miembros por – c, tendremos:
- ac < -bc
Y dividiéndolos por – c, o sea multiplicando por – 1 / c, tendremos – a / c < -b / c
Consecuencia
Si se cambia el signo a todos los términos o sea a los dos miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad variaporque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por – 1.
4.- si cambia el nombre de los miembros, la desigualdad cambia de signo
Ejemplo
a > b es evidente que b es < a.

5.- Se invierten los miembros de la desigualdad cambia de signo.
Ejemplo:
.a > b se tiene que 1 / a < 1 / b
6.- si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una mismapotencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia
Ejemplo:
5 > 3. elevando al cuadrado: 5 al cuadrado es > 3 al cuadrado, porque 25 > 9

7.- si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
Ejemplo:
-3 > -5. elevando al cubo: ( -3 ) al cubo > (-5 ) al cubo porque -27 > -125
2 >- 2 elevando al cubo : 2 al cubo > ( -2 ) porque 8 > -8.
8.- si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia }
Ejemplo:
-3 > -5. elevando al cuadrado: (-3 ) al cuadrado = 9 y ( 5 ) al cuadrado = 25 y queda 9 < 25.
9.- si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, elsigno de la desigualdad puede cambiar
Ejemplo:
3 > - 5. elevando al cuadrado: 3 al cuadrado = 9 y ( -5 ) al cuadrado = 25 y queda 9< 25
En este ejemplo el signo cambia.
8 > - 2. elevando al cuadrado 8 al cuadrado es = 64 y -2 al cuadrado es = 4 esto queda 64 > 4 .
En este ejemplo el signo no cambia.
10.- si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae unamisma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia

Ejemplo:
.a > b y n es positivo tendremos n raíz a > n raíz b
11.- si dos o mas desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo.
Ejemplo:
.a > b y c > d , tendremos a + c > b + d y ac > bd
12.- Si dos desigualdades del mismo signo se restan odividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad.
Ejemplo:
10 > 8 y 5 > 2 restando miembro a miembro: 10 – 5 = 5 y 8 – 2 = 6.; luego queda 5 < 6 ; cambia el signo.
Si dividimos miembro a miembro las desigualdades 10 > 8 y 5 > 4 tenemos 10 / 5 = 2 y 8 / 4 = 2 ; luego queda 2 = 2 , en este ejemplo tenemos unaigualdad.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se
resta un mismo número a cada miembro.
Efectivamente si en la desigualdad a>b se designa por “c” lo que
falta a “b” para ser igual a "a", se tiene:
a=b+c
Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se
puede escribir:
a+m =b+c+m
Suprimiendo "c" en el segundo miembro,...