Propiedades de las funciones

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Propiedades de las funciones de 1° grado
Al plantear problemas con ecuaciones de primer grado con una variable, se presentan las formas siguientes:
a + x = b
ax = b
ax + b = c
ax + b = cx + d
Siendo a, b, c, los valores conocidos, y x el valor desconocido.
Obsérvese el siguiente problema:
Al comprar Pepe en una ocasión 3 litros de leche y pagar con un billetede N$20.00, recibió de cambio N$ 13.40. ¿Cuánto costaba cada litro de leche?
Este problema puede representarse con la siguiente ecuación:
3x + 13.40 = 20
El valor de cada litro de leche se ha representado con la x. Para la resolución del problema se aplican las propiedades de la igualdad.
En este caso se aplica la propiedad uniforme, restando 13.40 a ambos miembros de la igualdad:
3x + 13.40- 13.40 = 20 - 13.40
Se divide a los dos miembros de la igualdad entre tres:

Se realizan las divisiones:
x = 2.20
Con ello se puede concluir que cada litro de leche costó N$ 2.20.
Se comprueba el resultado, sustituyendo el valor obtenido en la ecuación original.

Propiedades de las funciones de 2º grado
La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:
1.- Completa: Tiene laforma canónica:

donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.
Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Se resuelven por factorización, por elmétodo de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.
2.- Incompleta pura: Es de la forma:

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren enel signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:

con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0
3.- Incompleta mixta: Es de la forma:

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0.No tiene solución en números complejos.

Propiedades de las funciones de 3° grado
Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.
En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.
Los pasos de la resoluciónson:
* Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0). Se obtiene:
con , , .
* Proceder al cambio de incógnita , para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarrollar con la identidad precedente, vemos aparecer el término , compensado exactamente por que aparece en . Se obtiene:
, con p y q números del cuerpo.
* Y ahora, la astucia genial: escribir . Así, la ecuaciónprecedente da .
Desarrollando: .
Reagrupando: .
Factorizando: .
Como se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z), es posible imponerse una condición adicional. Concretamente:
, que implica .
* Pongamos y . Entonces tenemos y porque . Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar , que se sabe resolver.
Luego y son raíces cúbicas de y (que verifican y finalmente.
En el cuerpo , si y son estas raíces cúbicas, entonces las otras son y , y por supuesto y , con , una raíz cúbica de la unidad.
Como el producto uv está fijado , las parejas posibles son , y .
Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto y .

Propiedades de las funciones de 4º grado
Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto también...