Propiedades De Las Par Bolas Aplicadas A Las Antenas Parabolicas


Ministerio de Educación
Instituto Fermín Naudeau

Trabajo de
Matemática

Tema
Propiedades de la parábola aplicadas a las antenas parabólicas

Integrantes
Cedeño Jean Pierre
Nelson Ned
Villarreal Igmar

Profesor
Rafael Almanza

Nivel
12ºA

Año
2015

Tangente y normal en un punto de la parábola

Demostraremos dos propiedades importantes de la tangente y la normal a la parábola en un punto P dela misma

1. La bisectriz del ángulo exterior que forma el radio-vector de un punto P cualquiera con la normal a la directriz es tangente a la parábola

Vamos a demostrar que la recta que pasa por P y es la bisectriz de FPA es tangente a la parábola (figura 2)












Para demostrar que dicha recta es tangente a la parábola nos bastará demostrar que el único punto en común que tienen labisectriz y la parábola es P. Si P' es otro punto de la bisectriz (Figura 3) tendremos:

Como PA = PF la bisectriz de FPA es mediatriz de AF. En consecuencia P'A = P'F
Además P'B < P'A por ser P'B perpendicular a la directriz d
Se deduce de los dos puntos anteriores que P'B < P'F.
En consecuencia P' no está en la parábola ya que P' no equidista de la directriz y del foco

2. Inversamente: la tangente ala parábola en cualquier punto P es la bisectriz del ángulo exterior que forma el radio-vector de un punto P cualquiera, con la normal a la directriz

Considera la Figura 4. Sea t la recta tangente a la parábola. Queremos demostrar que los ángulos a y b son iguales.










Empezaremos por demostrar que el simétrico del foco F, respecto a la recta t es A (siendo A pie de la perpendicular a ladirectriz (d) por el punto P), si y sólo si la recta t es tangente a la parábola.
a) Condición necesaria. Supongamos que que el simétrico de F es A. Si t no fuera tangente a la parábola tendría al menos otro punto P' sobre la recta t y común con la parábola. Pero esto no es posible, ya que si P' está en la parábola d(P',d) = P'F. Por otro lado como P' está en la recta t, P'A = P'F, y en consecuenciad(P',d) = P'A, lo cual sólo puede ocurrir si P y P' coinciden.

b) Condición suficiente. Sea t una recta tangente a la parábola por el punto P. Puesto que P es un punto de la parábola se cumple que PA = PF. El simétrico de F respecto a t es A, ya que si no lo fuera (Figura 5), sería A' o A''. Supongamos que el simétrico es A'' (para el caso de A' la demostración sería la misma). Entonces como PF= PA y además PF = PA'' por ser A'' el simétrico de F respecto a t, tendremos que PA = PA'', pero esto es contradictorio salvo que A y A'' coincidan.

Por tanto: si la recta t es tangente a la parábola, el simétrico de F respecto a t es A, por lo que t es la mediatriz de AF. Y en consecuencia a y b son iguales.

¿De qué forma podemos usar esta propiedad de la parábola?


Supongamos que buscamosuna pantalla que no disperse la luz. ¿Qué forma ha de darle a la pantalla? ¿Dónde se debe colocar la bombilla?
La solución al problema se obtiene estudiando la dirección que seguiría un rayo (de luz o sónico), que partiendo del foco, se refleje en la parábola. Según acabanos de ver, la tangente es la bisectriz del ángulo que forma el radio vector del punto, con la prolongación de la perpendicularpor P a la directriz.


Luego si el ángulo de incidencia ha de ser igual al ángulo de reflexión (al reflejarse en la curva, es decir, al reflejarse en la tangente en P), al salir un rayo de F y tocar en P, se reflejará según la dirección del eje de la parábola (Figuras 7 y 8)


Y al revés: si un rayo paralelo al eje, incide en la parábola se reflejará en dirección al foco (Figura 9). Esto se puedeusar, por ejemplo para construir un horno solar, que recogiendo los rayos del sol, los refleje en el foco de la parábola. O también en las llamadas antenas parabólicas.



Los paraboloides

Definición: En la Geometría analítica, un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se describe mediante ecuaciones cuya forma canónica es del tipo:


Los paraboloides pueden ser...