Propiedades De Las Potencias

Propiedades de las potencias

Potencias de exponente 0
a0 = 1
Potencias de exponente 1
a1 = a
Potencias de exponente entero negativo

Potencias de exponente racional

Potencias de exponente racional y negativo

Multiplicación de potencias con la misma base
am · a n = am+n
División de potencias con la misma base
am : a n = am – n
Potencia de un potencia
(am)n=am · n
Multiplicación de potenciascon el mismo exponente
an · b n = (a · b) n
División de potencias con el mismo exponente
an : b n = (a : b) n

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se llama función exponencial de base (a) cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo (a) un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

En la figurase ve el trazado de la gráfica de f(x)=2x



PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:
La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:
f (0) = a0 = 1
La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:
f (1) = a1 = a
La función exponencial de una suma de valores es igual alproducto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.
f (x + x?) = ax+x? = ax  ax? = f (x)  f (x?).
La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:
f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).
La función es positiva para cualquier valor de x: f(x) >0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a,es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.
Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.
Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.
Todas las funciones pasan por el punto (x=0,y=1).
El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales.
Si la base (a=0) la función setransforma en la función constante 0.

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.
No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunosresultados y propiedades:
1- ax = ay ⇔ x = y
Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.
2- ax.ay = ax + y
3- ax/ay = ax - y
4- (ax)y = ax.y
El uso de los logaritmos, como se verá más adelante, facilita en muchas ocasiones la resolución de estas ecuaciones.
Ejercicio: resolución de ecuaciones exponenciales
1) Resolver  = 1/8Resolución:
- Expresando 1/8 como potencia de 2:  = 1/2³
 = 2‾³⇒ 1 - x² = -3
Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado.
1 - x² = -3 → x² = 4 → x = ± 2
Resolver 4x+1 + 2x+3 = 320
Resolución:
En algunas ecuaciones es necesario hacer un cambio de variable para su resolución.
Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, la ecuación puede escribirse:
4.4x + 2³·2x = 320 → 4.4x + 8·2x =320
Expresando 4x como potencia de dos,
4.2².x + 8.2x = 320
Se hace el cambio de variable 2x = y, (por tanto 2².x = y²) y se obtiene:
4 y² + 8 y = 320
Basta ahora con resolver esta ecuación:
y² + 2 y - 80 = 0

Se deshace ahora el cambio y = 2x
y1 = -10 = 2x. No es posible encontrar un x que verifique esta condición (2x es siempre positivo)
y2 = 8 = 2x → x = 3
La solución es, por tanto, x = 3Resolver 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651
Resolución:
Aplicando las propiedades de las potencias, la ecuación se puede escribir como
5x + 5² ·5x + 54 ·5x = 651
Sacando factor común 5x:
5x (1 + 5² + 54) = 651
5x·651 = 651 → 5x = 1 → x = 0
Algunas ecuaciones exponenciales requieren, para su resolución, el empleo de logaritmos y por ello se tratarán junto con las ecuaciones logarítmicas.
Ejercicio: resolución de...