Propiedades de las raices

Propiedades de las raíces
Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias a partir de las cuales se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces:
1) Multiplicación de raíces de igual índice:

Se multiplican las bases y se conserva el índice.
2) División de raíces de igual índice:

Se dividen las bases y seconserva el índice.
3) Raíz de raíz:

Para obtener raíz de raíz se multiplican los índices y se conserva la base.
4) Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice:

Exponente e índice se anulan entre sí, por lo tanto desaparece el radical  y la base queda aislada.
5) Propiedad de amplificación:

Tanto el índice como el exponente de la potencia pueden amplificarse por un mismo valor.
6)Ingreso de un factor dentro de una raíz:

(con la restricción que a>0 si n es par) 
Para introducir un factor dentro de una raíz se coloca el factor dentro del radical como potencia con exponente igual al índice y multiplicando a los demás factores.
Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raíces estén definidas en los números reales.
Operaciones conradicales
 Las raíces que se encuentran dentro del signo radical pueden realizar operaciones entre sí.
Pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse si cumplen con determinadas condiciones o reglas.
Suma y resta de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes; es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando (o base subradical).Producto o multiplicación de radicales
Multiplicar radicales del mismo índice
Se multiplican los radicando (las bases) y se conserva el índice


Multiplicar radicales de distinto índice:
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente o división de radicales
Dividir radicales del mismo índice
Se dividen los radicando (las bases) y se conserva el índice

Dividir radicales de distintoíndice:
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
 
Potencia de radicales

 Raíz de un radical
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.

    
Ejemplo:

Racionalizar
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo cual facilita el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos,para eliminar los radicales del denominador.
a) Se multiplican el numerador y el denominador por

.b)  Se multiplican el numerador y el denominador por 
 
.

c)

y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical, se multiplican el numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado es la misma expresión pero con signo contrario.
Adición y Sustracciónde radicales
 Caso 1
Podemos sumar y restar radicales solamente cuando estos tengan el mismo índice y contengan una misma base (subradical o radicando).
Ejemplo:


Se pide realizar una operación combinada de suma y resta, lo cual podremos hacer ya que todos los términos tienen
Para recordar:
Cuando hay un radical solo siempre será lo mismo que .
Como los radicales son todos iguales se suman losnúmeros que están fuera de ellos (3 + 5 + 1) y la parte radical se deja igual.
Veamos ahora otro ejemplo:

Como todos los términos tienen podemos sumar y/o restar sin problema. Se ha añadido un "1" delante del radical único .
Caso 2
¿Podremos sumar y restar radicales que tengan el mismo índice pero que tengan distinta base?
Ejemplo:

Aquí también se pide realizar una operación combinada de suma yresta. Sin embargo, no será posible porque los tres radicales poseen el mismo índice (2) y sus bases (o cantidades subradicales o radicandos) son diferentes, además de que son números primos y no se pueden factorizar.
Raíz: Operaciones Combinadas con Radicales
 En muchos casos cuando se nos presentan operaciones combinadas de suma y resta con raíces la primera impresión es que no se pueden...