Propiedades de las sumatorias

Propiedades de sumatorias
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Suma de Riemann

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Integración de Riemann

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Suma de Riemann

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Suma de Riemann
En matemáticas, la suma de Riemann es un
método de integración numérica que nos
sirve para calcular el valor de una integral
definida, es decir, el área bajo una curva,
este método es muy útil cuando no es
posible utilizar el Teorema Fundamental del
Cálculo. Estas sumas toman su nombre del
matemáticoalemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente
en trazar un número finito de rectangulos
dentro de un área irregular, calcular el área
de cada uno de los rectangulos y sumarlos.
El problema de este método de integración
numérica es que al sumar las áreas se
obtiene un margen de error muy grande.

Definición
Consideremos lo siguiente:
• una función
donde D es unsubconjunto de
los números reales
• I = [a, b] un intervalo cerrado
contenido en D.

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas.
Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente,
los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos
máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valoresmás grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de
las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la
izquierda hasta abajo a la derecha.

• Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I,entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define
como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada sumatrapezoidal.
\sum_{i=100}^{300}=6_i(4_i+2_i^2)

Integración de Riemann

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Integración de Riemann
En el área de Análisis Matemático, la integral de Riemann, es una forma de abordar el problema de la integración,
denotada usualmente de la siguiente forma:

Definición formal
Se van a definir cuatro conceptos, el último siendo el que nos interesa: el primero una partición de un intervalo[a,
b], el segundo la norma de una partición, el tercero una suma de Riemann y el último que una función acotada sea
Riemann integrable en un intervalo [a,b].

Partición de un Intervalo y su Norma
Sea [a,b] un intervalo cerrado en los reales. Entonces una partición de [a,b] es un subconjunto finito P = {x0 = a,
x1,...,xn = b} tal que xi > xi - 1, con i = 1,...,n. La norma de la partición esel intervalo más grande:
Lo que estamos haciendo en pocas palabras es cortar al intervalo en subintervalos disjuntos, cuya unión forma el
intervalo original, la norma simplemente es la longitud del intervalo de mayor longitud.

Suma de Riemann
Sea f una función en [a, b] y tomemos una partición del intervalo [a, b], que denotaremos por P = {x0 = a, x1,...,xn =
b} entonces llamamos suma deRiemann a una suma de la forma:
, con
De manera intuitiva esta suma representa la suma de áreas de rectángulos con base xk - xk - 1 y altura f(tk).
Simbolizamos esta suma como S(P, f), también se utiliza la notación más extensa pero más explícita:

Integrabilidad de Riemann
Una función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es Riemann integrable en [a, b] si existe un número...