Propiedades de los conjuntos

Propiedades de la unión de conjuntos.
Definición:
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto A(B formado por los elementos de A o de B o de ambos. O sea que:
A ( B = {x(U/x(A ( x(B}
Decir que:
x( A ( B ( x(A ( x(B
[pic]

Propiedades de la unión de conjuntos

Idempotencia
La unión de un conjunto, es igual al mismo conjunto
H) Sea el conjunto A
T) A ( A = A
D) Aplicando ladefinición de unión, la idempotencia de la disyunción y la definición de igualdad, se tiene:
x( A ( A ( x(A ( x(A ( x(A
( A ( A = A
Asociatividad
La unión es asociativa
H) Sean los conjuntos A, B y C
T) A ((B ( C) = (A ( B)( C
D) Aplicando la definición de unión, la asociatividad de la disyunción y la definición de igualdad, se tiene:
x( A ((B ( C) ( x(A ( x( (B ( C) ( x(A ( (x(B ( x(C) (
((x(A ( x(B) ( x(C ( x((A ( B) ( x(C ( x((A ( B)( C
( A ((B ( C) = (A ( B)( C

Gráficamente:
[pic]

El primer gráfico es A ((B ( C), y el segundo (A ( B)( C
La conmutatividad
La unión es conmutativa
H) Sean los conjuntos A y B
T) A ( B = B ( A
D) Aplicando la definición de unión, la conmutatividad de la disyunción y la definición de igualdad, se tiene:
x( A ( B ( x(A ( x(B ( x(B ( x(A ( x(B ( A
( A ( B = B ( A
Gráficamente serán los mismos dado que son dos conjuntos.

Vacuidad o Conjunto Vacio.
Definimos ahora el conjunto vacío, el cual notamos Ф, del siguiente modo:
Conjunto vacío
Ф = {x ∈ N|x 6= x}.
Notar que - no tiene ningún elemento. Es decir (∀x)(x /∈ Ф).
En efecto, sea x arbitrario.
(x ∈ Ф) ⇐⇒ ((x ∈ N) ∧ (x 6= x)) ⇐⇒ ((x ∈ N) ∧ F) ⇐⇒ F

Propiedades deintersección

Sean los conjuntos A y B, se llama intersección entre los conjuntos A y B al conjunto A(B formado por los elementos comunes. Lógicamente, hablar de elementos comunes, es hablar de elementos que pertenecen a uno y al otro conjunto.

O sea que:

A ( B = {x(U/x(A ( x(B}
Ahora, decir que:
x( A(B ( x(A ( x(B

Gráficamente se tiene:

[pic]
A(B

Propiedades y elementos distinguidos dela intersección
Idempotencia
La intersección de un conjunto, es igual al mismo conjunto
H) Sea el conjunto A
T) A ( A = A
D) Aplicando la definición de intersección, la idempotencia de la conjunción y la definición de igualdad, se tiene:
x( A ( A ( x(A ( x(A ( x(A
( A ( A = A
Asociatividad
La intersección es asociativa
H) Sean los conjuntos A, B y C
T) A ((B ( C) = (A ( B)( C
D)Aplicando la definición de intersección, la asociatividad de la conjunción y la definición de igualdad, se tiene:
x( A ((B ( C) ( x(A ( x( (B ( C) ( x(A ( (x(B ( x(C) (
( (x(A ( x(B) ( x(C ( x((A ( B) ( x(C ( x((A ( B)( C
( A ((B ( C) = (A ( B)( C

Gráficamente es:

[pic]
El primer gráfico es A ((B ( C), y el segundo (A ( B)( C

La conmutatividad
La intersección es conmutativa
H) Sean losconjuntos A y B
T) A ( B = B ( A
D) Aplicando la definición de intersección, la conmutatividad de la conjunción y la definición de igualdad, se tiene:
x( A ( B ( x(A ( x(B ( x(B ( x(A ( x( B ( A
( A ( B = B ( A
Gráficamente serán los mismos dado que son dos conjuntos.-

Elemento neutro
El elemento neutro de la intersección es el conjunto universal
H) Sea el conjunto A
T) A ( U = U ( A = AD) Dado que el conjunto A(U ( A ( U = U ( A = A

Elemento absorbente
El elemento absorbente es el conjunto vacío
H) Sea el conjunto A
T) A ( ( = A ( (= (
D) Dado que, por la caracterización del (, ((A ( A ( ( = ( ( A = (

Propiedades de complemento
Sea el conjunto A. Se llama complemento del conjunto A, al conjunto formado por todos los elementos del universal que no son de A.-Simbólicamente:
AC = {x ( U/x ( A}
Decir que:
x ( AC ( x ( A
En diagramas de Venn es:
 
[pic]

Todo lo rayado son los elementos del conjunto universal que no son de A

Propiedades de la Complementación
Involución
El complemento del complemento de un conjunto, es igual al mismo conjunto
H) Sea el conjunto A
T) (AC)C = A
D) Partiendo de la definición de inclusión, otras formas de negar e...