PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

Propiedad 1.

Si una matriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.

 Ejemplo 1.


Desarrollando por cofactores delprimer renglón se tiene


Propiedad 2.

El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A.

 Esto es
                                                 
Ejemplo 2.
                       Sea       
 
La transpuesta de A  es          

Propiedad 3.
 
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo 3.
 Sea            con      
 
Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda
 
           Con     
 
Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.Propiedad 4.

 Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas) iguales  entonces   det A = 0.           

Ejemplo 4.
 
Sea           entonces  

Propiedad 5.
 
Cuando un solo renglón (o columna)de una matriz  A  se multiplica por un escalar  r  el determinante de  la matriz  resultante es  r  veces el determinante de  A,   r det A.
 
Ejemplo 5.
 
Sea       cuyo determinante se calculó enel ejemplo 2,  
 
Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente
 
                                                
 

Cuyo determinante, desarrollado porcofactores de la primera columna de B es     
 
       

Propiedad 6.

 Si un renglón de la matriz  A  se multiplica por un escalar  r   y se suma a otro renglón  de A, entonces el determinante de lamatriz resultante es igual  al determinante de A,  det A.   Lo mismo se cumple para las columnas de A.

Ejemplo 6.
 
Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  
 
Multiplicando lasegunda columna de A por el escalar  2  y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente
  
                      
 
Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene
 
        ...