Propiedades de los limites Calculo Diferencial

3.2.- PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
En la definición de limites de una función  de la sección 3.1 se determinaba la existencia  de un límite en base a una gráfica o tabla de valores númericos, porlo que esto no es práctico y es aconsejable evaluar los limites de manera análitica.Para ello es importante considerar y utiolizar las propiedades de los límites:
 

 

 
Asi mismo consideraremoslos limites de las funciones tigonométricas, dadas como continuación de la tabla 3.2.2.


Límite de una función en un punto

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que seacercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.

Vamos a estudiar el límite de lafunción f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
x f(x)
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996001
... ...
↓ ↓
2 4
x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
... ...
↓ ↓
2 4

Tanto si nosacercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayorque cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición|x − x0| < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε.

Concepto de límitecONCEPTO DE LÍMITE

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

Definición por entorno si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea suradio ε, existe un entorno de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, Eε(L).

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por laizquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x pertenece (a − δ, a) , entonces |f (x) − L| < ε .

Límicte por la izquierda

Diremos que el límite de una función f(x)...